Cтраница 1
Обобщенные решения уравнения ( 1 - 46) обладают рядом свойств, связанных с вырождением его коэффициентов. Физически это означает, что при вытеснении одной жидкости другой образуются области двухфазного течения и однофазной фильтрации. [1]
Обобщенное решение уравнения ( 18 1 3) может не быть функцией класса С2 ( и), даже если ty ( x, у) - непрерывная функция. [2]
Обобщенным решением уравнения ( 1) в области G называется всякая обобщенная функция и &. [3]
Теория обобщенных решений уравнений с частными производными была разработана С. Л. Соболевым в 30 - х годах. Такие решения определяются либо как предел последовательности обычных решений, либо при помощи интегральных тождеств. [4]
Рассмотрение обобщенных решений уравнения ( 1 9) тем более естественно, что обычно сама функция ср ( х) нам бывает известна только приближенно. Поэтому соответствующая функция u ( t, х), даваемая формулой ( 3 9), также является только некоторым приближением к точному решению поставленной задачи. [5]
Среди обобщенных решений уравнения ( 1), не являющихся решениями задачи Коши, могут быть, вообще говоря, дифференцируемые функции. У ( /) фо, доопределяемая в нуле как фо, дифференцируема ( справа) в нуле. [6]
Тогда обобщенным решением уравнения (3.2) при начальном условии у ( х0) у0, по определению, называется нрпрррыйное решение уряпнрния ( Я-S), Докажите сулцествование и единственность этого решения. [7]
Теорема 6.2. Обобщенное решение уравнения ( 1) с регулярными функциями 9 и ф, 62 0, при линейном граничном условии: z ax c, является регулярным. [8]
Теорема 6.1. Обобщенное решение уравнения Монжа - Ампера ( 1), в котором 0 и ф - регулярные положительные функции, 020, является регулярным в окрестности каждой точки строгой выпуклости решения. [9]
Тогда для обобщенного решения уравнения имеет месШО принцип максимума. Именно, если разность двух решений в некоторой области принимает положительные значения, то ее максимум достигается на границе области. [10]
Введем понятие обобщенного решения уравнения (6.5) и рассмотрим некоторые свойства разрывных решений. [11]
Поскольку и - обобщенное решение уравнения ( 1) в области G, то непрерывная в G функция L ( x, д и - / обращается в нуль в области G в смысле обобщенных функций. L ( x, д) и - / 0 во всех точках области ( 7, так что и удовлетворяет уравнению ( 1) в области G в классическом смысле. [12]
Поскольку н - обобщенное решение уравнения ( 1) в области О, то непрерывная в G функция L ( x, D) u - / обращается в нуль в области G в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймонда ( см. § 5.6), L ( x, D) u ( x) - f ( x) Q во всех точках области О, так что и удовлетворяет уравнению ( 1) в области О в классическом смысле. [13]
Поскольку и - обобщенное решение уравнения ( 1) в области G, то непрерывная в G функция L ( x, d) u - f обращается в нуль в области G в смысле обобщенных функций. G) L ( x, д) и ( х) - f ( x) 0 во всех точках области G, так что и удовлетворяет уравнению ( 1) в области G в классическом смысле. [14]
Поскольку и - обобщенное решение уравнения ( 1) в области G, то непрерывная в G функция L ( x, d) u - f обращается в нуль в области G в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймона ( см. § 5.6) L ( x, д и ( х - j ( x - 0 во всех точках области G, так что и удовлетворяет уравнению ( 1) в области G в классическом смысле. [15]