Cтраница 3
Если допускать кусочно непрерывные запаздывания ( и, соответственно, обобщенные решения уравнения ( 7)), то можно в качестве А ( /) взять периодическое продолжение функции Д ( /) с а. [31]
Переход к уравнению (3.8) дает одну из возможностей ввести понятие обобщенного решения уравнения (3.2) в случае, когда функция f ( x, у) разрывна. [32]
Лемма 17.1. Если В есть Яо - совершенный оператор, то обобщенное решение уравнения (17.1) будет точным решением этого уравнения. [33]
Если оценка ( 13) выполнена при р 1, то все обобщенные решения уравнения и Аи аналитичны в нек-ром секторе, содержащем положительную полуось. [34]
В этом случае, как мы знаем, существует не более одного обобщенного решения уравнения ( 22 4 3) с краем К в классе W ( C. [35]
Если же отказаться от условия ср2 - 0, то в классе обобщенных решений уравнения, обращенных выпуклостью вниз, задача Дирихле может иметь не единственное решение. Более того, она может иметь даже счетное число решений. Аналогично, если снять условие р2 - 0, то та же ситуация имеет место в классе обобщенных решений уравнения ( 19 2 1), обращенных выпуклостью вверх. [36]
Так как zl ( x, у) и z2 ( x, у) - обобщенные решения уравнения ( 19 2 1), то функции множества и ( 1, zlf M) и и ( 1, z2, УИ) абсолютно непрерывны в Q. Следовательно, со ( 1, и, М) есть абсолютно непрерывная функция множеств для борелевских подмножеств М множества / Иб, кроме того, и ( х, у) как разность двух выпуклых функций почти везде имеет второй дифференциал. [37]
Доказательство этого утверждения, по существу, является буквальным повторением доказательства теоремы о принципе максимума для обобщенных решений уравнения Монжа - Ампера. [38]
Ограниченность объема данной монографии не позволила включить в нее результаты автора, связанные с неравенством Гарнака для обобщенных решений уравнений вида ( 1) ( см. [ 28, 25, 2, 48J), являющегося источником многочисленных применений качественного и количественного характера. [39]
Из (15.19) следует, что при выборе одного и того же базиса последовательность Ритца сходится в пространстве НА к обобщенному решению UQ уравнения Au f лучше ( по крайней мере не хуже), чем последовательность ип, построенная по методу наименьших квадратов. [40]
Определение 4.4. Оператор Р ( D) называется гипоэллипти-ческим в области Q, если для всякой подобласти со с И каждое обобщенное решение уравнения P ( D) u Q в со являегся бесконечно дифференцируемой функцией. [41]
Мы не знаем априори, что х гладкая, однако мы можем рассмотреть х как обобщенную функцию и использовать тот факт, что все обобщенные решения уравнения являются фактически обычными гладкими функциями. [42]
Эта формула не содержит производных функции и, предыдущие соображения естественно приводят нас к следующему определению: интегрируемая в области D функция и называется обобщенным решением уравнения ( 224), если она удовлетворяет соотношению ( 227) при произвольной функции а с указанными выше свойствами. [43]
Очевидно, если при п ит уравнение ( В; 1 1) имеет обычное решение ZT e F, то оно совпадает с обобщенным решением уравнения Az ит. [44]
В настоящей главе исследуются два вопроса, которые тесно связаны между собой: решение задачи Дирихле для уравнений Монжа - Ампера в классе достаточно гладких функций и исследование дифференциальных свойств обобщенных решений уравнений Монжа - Ампера. [45]