Cтраница 4
Далее мы увидим, что одномерный случай является совершенно исключительным, а не только более легким для исследования: если коэффициенты ар и А - гладкие функции, то при п единственными обобщенными решениями уравнения (5.12.2) оказываются классические функция. [46]
Среди обобщенных решений уравнения (1.1), не являющихся решениями задачи Коши, могут быть, вообще говоря, дифференцируемые функции. Обозначим через ЗЬ совокупность тех элементов х0, для которых функция U ( t) x0, доопределенная в нуле как х0, дифференцируема ( справа) в нуле. [47]
Большая гладкость коэффициентов уравнения ( 7 37) влечет за собой большую гладкость решения. G непрерывные производные любого порядка, то всякое обобщенное решение уравнения ( 7 37) также обладает производными любого порядка. [48]
Формально этот результат следует, конечно, из вычитания уравнения Au0 f из уравнения Av0g формальное - потому что символы Аи0, AvQ не обязательно имеют смысл, если UQ и VQ не принадлежат DA. Поэтому необходимо показать, что 20 удовлетворяет соотношению (11.18), поскольку обобщенное решение уравнения (11.17) определяется именно в этом смысле. [49]
Для уравнения теплопроводности так же, как и для уравнения Лапласа, возникает вопрос, какие особенности решений на многообразиях положительной размерности являются устранимыми. Ответом на этот вопрос является, в частности, теорема о гладкости обобщенных решений уравнения теплопроводности, доказанная в § 4.9. Здесь мы приводим достаточные условия устранимости особенностей на fc - мерной поверхности в n - мерном пространстве для решения и ( х) уравнения Лапласа и решения и ( х, t) уравнения теплопроводности. [50]