Cтраница 2
Тогда ( 3) имеет G - инвариантное решение. [16]
Для уравнений т-го порядка с двумя независимыми переменными инвариантные решения вводятся таким же образом, что и для уравнений второго порядка. В этом случае процедура построения инвариантых решений ( при известных координатах генератора группы) полностью совпадает с процедурой, подробно описанной в разд. [17]
В настоящей работе 2 22 и, - инвариантные решения уравнений треугольников интерпретируются как матричные аналоги эллиптических функций. В основном результаты этого параграфа известны и он служит для подготовки к § 2, где мы вводим матричный аналог сигма-функции Вейерштрасса. Она представляет собой целую матрицу-функцию с нулями в точках решетки L и заданными условиями квазипериодичности. [18]
В теории установлены необходимые и достаточные условия существования инвариантных решений. В общих чертах они состоят в следующем. [19]
Поэтому пригодность получаемых на его основе тех или иных инвариантных решений для описания конкретного явления должна исследоваться дополнительно. [20]
Обобщение понятия решения, инвариантного относительно группы, так называемое частично инвариантное решение, было введено Овсянниковым [ 2; § 17 ], 3; гл. В сущности частично инвариантное решение - это решение, график которого, хотя и не является полностью инвариантным относительно преобразований из рассматриваемой группы, должен оставаться в подмногообразии размерности, строго меньшей, чем р г. Здесь р - число независимых переменных, а г - размерность орбит группы G. Заметим, что график общей функции должен был бы отображаться в ( р - f - r) - мерное многообразие под действием всей группы преобразований. В определенных случаях такие решения также можно найти точно с помощью решения редуцированной системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных, но промежуточные вычисления значительно более сложны, чем в полностью инвариантном случае. Читателя, интересующегося полным развитием этой теории, мы отсылаем к упомянутым выше работам Овсянникова. [21]
Подходящие замены координат на M / G приведут ко всем С - инвариантным решениям системы Д, даже к тем, которые изначально были нетрансверсальными при исходном выборе координат. Это завершает наше развитие теории и обоснования процедуры редукции. [22]
Возникает задача построения всех / / - УР, определяющих / / - инвариантные решения для всех подгрупп Н С G. В [46] на примере обыкновенных дифференциальных уравнений с дискретной группой симметрии предложен метод построения / / - систем и / / - инвариантных решений. Исходной является дискретная группа G и структура L ( G) всех ее подгрупп. Процесс построения V-полу-структуры L ( G) ( для каждой пары Hyy Hw L ( G) существует их объединение Н у V / / ( у, порожденное всеми элементами Нц. Две / / - системы называются сосуществующими, если они существуют в одном и том же базисе. Таким образом, чтобы построить все / / - системы, достаточно рассмотреть УР во всех базисах Дш, соответствующих всем максимальным цепям ш в L ( G для того, чтобы все / / - системы могли быть получены в одном базисе, достаточно, чтобы L ( G ] была цепью. [23]
Символ означает повтор выражения, стоящего в строке слева, прочерк - отсутствие инвариантных решений. [24]
Если исследуемое уравнение допускает N операторов, то мы получаем, соответственно, N различных инвариантных решений. Однако, рассматривая операторы в отдельности, можно потерять решения, инвариантные относительно их линейной суперпозиции, которые могут иметь существенно иной вид. [25]
Положительным в данной методике следует считать то, что знание группы позволяет определять всю совокупность инвариантных решений, не распыляя силы на поиск частных случаев. [26]
Не входя в детали вычислений, приведем результаты, позволяющие составить систему обыкновенных уравнений для любого инвариантного решения. [27]
Что касается двух оставшихся подалгебр, то подалгебра, порожденная полем V ], имеет в качестве инвариантных решений лишь константы, а они уже появились в ( d), а подалгебра, порожденная полем з, не имеет инвариантных решений. [28]
Решение уравнения Янга-Бакстера с Sp ( Jtt) - симметрией имеет структуры весьма сходную с OW - инвариантным решением. Поэтому при построении собственных векторов ( в столь явной форме как это сделано для jS ( U ( W - инвариантных трансфер-матриц) возникают аналогичные трудности. [29]
Что касается двух оставшихся подалгебр, то подалгебра, порожденная полем V ], имеет в качестве инвариантных решений лишь константы, а они уже появились в ( d), а подалгебра, порожденная полем з, не имеет инвариантных решений. [30]