Cтраница 3
Наконец, учитывая условия устойчивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что прямая М М - должна быть касательной к кривой F ( s, c), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение типа равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом представляет собой внутреннюю асимптотику решения, отвечающую малости объема оторочки или - что эквивалентно - большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие активной примеси ( с 0) с дополнительным скачком насыщенности, обусловленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s и s -, определяемыми из внутреннего решения. На ( s, / - диаграмме ему соответствует путь ABODE. Полученный результат заслуживает особого комментария. Дело в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соответствующее пути ABODE, существует и в отсутствие активной примеси; однако оно неустойчиво. Таким образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчивого решения, отвечающего рис. 59, г. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижения подвижности воды, которая достигается в оторочке. Если активная примесь полезная, то F c О, и последнее утверждение означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентрации примеси в оторочке. [31]
Наконец, учитывая условия устойчивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что прямая М М - должна быть касательной к кривой F ( s, c), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение типа равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом представляет собой внутреннюю асимптотику решения, отвечающую малости объема оторочки или - что эквивалентно - большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие активной примеси ( с 0) с дополнительным скачком насыщенности, обусловленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s и s -, определяемыми из внутреннего решения. На ( s, / - - диаграмме ему соответствует путь ABGDE. Полученный результат заслуживает особого комментария. Дело, в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соответствующее пути ABGDE, существует и в отсутствие активной примеси; однако оно неустойчиво. Таким образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчивого решения, отвечающего рис. 59, г. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижения подвижности воды, которая достигается в оторочке. Если активная примесь полезная, то Fc О, и последнее утверждение означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентрации примеси в оторочке. [32]
Обобщение понятия решения, инвариантного относительно группы, так называемое частично инвариантное решение, было введено Овсянниковым [ 2; § 17 ], 3; гл. В сущности частично инвариантное решение - это решение, график которого, хотя и не является полностью инвариантным относительно преобразований из рассматриваемой группы, должен оставаться в подмногообразии размерности, строго меньшей, чем р г. Здесь р - число независимых переменных, а г - размерность орбит группы G. Заметим, что график общей функции должен был бы отображаться в ( р - f - r) - мерное многообразие под действием всей группы преобразований. В определенных случаях такие решения также можно найти точно с помощью решения редуцированной системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных, но промежуточные вычисления значительно более сложны, чем в полностью инвариантном случае. Читателя, интересующегося полным развитием этой теории, мы отсылаем к упомянутым выше работам Овсянникова. [33]
Сказанное означает, что инвариантное решение под действием данного преобразования переходит само в себя. Основные этапы построения инвариантных решений описаны ниже. [34]
В настоящей работе вычисляются собственные значения &-инвариантных трансфер - ватриц ( § 3) в случае, когда G - классическая группа Ли. В § 2 приведены известные & - инвариантные решения уравнения ( I), действующие в произведении двух фундаментальных представлений. В § 3 по ним построены квантовые точно-решаемые модели на цепочке и вычислен спектр соответствующих трансфер-матриц. В § 4 обсуждается связь с теорией представлений. [35]
О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № 6, 1296 - 1299 ( 1975); Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. [36]
Как нам кажется, пользуясь классификацией по алгебраической структуре тензора кривизны ( см. главу III), можно попытаться сформулировать достаточно определенное и инвариантное решение этого вопроса. [37]
Для наглядности в табл. 2 собраны инвариантные решения, поиск которых основан на использовании комбинаций преобразований сдвига и растяжения по независимым переменным и преобразований растяжения по зависимой переменной. Помимо решений типа бегущей волны, автомодельных решений и экспоненциально-автомодельных решений, рассмотренных ранее, в последней строке описано еще одно инвариантное решение. [38]
Возникает задача построения всех / / - УР, определяющих / / - инвариантные решения для всех подгрупп Н С G. В [46] на примере обыкновенных дифференциальных уравнений с дискретной группой симметрии предложен метод построения / / - систем и / / - инвариантных решений. Исходной является дискретная группа G и структура L ( G) всех ее подгрупп. Процесс построения V-полу-структуры L ( G) ( для каждой пары Hyy Hw L ( G) существует их объединение Н у V / / ( у, порожденное всеми элементами Нц. Две / / - системы называются сосуществующими, если они существуют в одном и том же базисе. Таким образом, чтобы построить все / / - системы, достаточно рассмотреть УР во всех базисах Дш, соответствующих всем максимальным цепям ш в L ( G для того, чтобы все / / - системы могли быть получены в одном базисе, достаточно, чтобы L ( G ] была цепью. [39]
А конкретные примеры наглядно показывают, что построение точных решений путем понижения размерности уравнений с частными производными достигается, когда рассматриваемые уравнения инвариантны относительно некоторых преобразований ( содержащих один или несколько произвольных параметров) или, другими словами, обладают определенной симметрией. Далее в главе 7 будет описан общий метод исследования симметрии дифференциальных уравнений ( метод группового анализа), который позволяет регулярным образом получать подобные и более сложные инвариантные решения. [40]
Данное уравнение представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка. Точное решение этого уравнения получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения ( типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ. [41]
Уравнения (9.25) и (9.31) представляют собой сложные нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения ( типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ. [42]
Уравнения (9.25) и (9.31) представляют собой сложные нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ. [43]
Как известно, фильтрация флпида в пористой среде описывается нелинейным уравнением в частных производных. Тогда данное уравнение в частных производных в одномерном случае сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое в некоторых случаях удается точно решить. Важное значение инвариантных решений состоит в том, что они отражают основные качественные свойства уравнение и во многих случаях являются асимптотиками неинвариантных задач. [44]
Ru), SO ( 3), и регулярно с трехмерными орбитами на любом открытом подмножестве пространства R3 X R3 проекция действия группы xt - - Rx. Другой способ увидеть это - рассмотреть инварианты группы SO ( 3), которыми являются t, x, x - u, и, р, и заметить, что для осуществления процедуры редукции слишком много независимых и слишком мало зависимых переменных. Таким образом, SO ( 3) - инвариантных решений не существует. [45]