Cтраница 1
Ветвь математики, известная под названием теории колец, состоит из всех утверждений, которые можно вывести из законов ( 1) - ( 5) и ( 8) - это те теоремы, которые верны для всех колец. Если в ходе своих исследований математик наталкивается на систему, удовлетворяющую всем этим требованиям, он говорит себе; ага, кольцо. Правда, это редко решает все его проблемы. [1]
Ветвь математики, занимающаяся подобными проблемами, называется вариационным исчислением. [2]
Но жизнеспособность этой ветви математики в значительной мере связана с ее многообразными естественнонаучными приложениями. Понятие скалярного произведения, лежащее в основе всей второй части курса, может служить для измерения углов в абстрактных евклидовых пространствах. Но математик, который не знает, что оно же измеряет вероятности ( в моделях квантовой механики), скорости ( в пространстве Минковского специальной теории относительности) и коэффициенты корреляции случайных величин ( в теории вероятности), лишается не только общей широты кругозора, но и гибкости чисто математической интуиции. [3]
Теория вероятностей стала полноправной ветвью математики именно благодаря Колмогорову, построившему общепринятую ныне ее аксиоматику, основу общей теории случайных процессов, теорию марковских процессов с непрерывным временем. Им открыты закон 0 или 1, закон двух третей, даны условия справедливости усиленного закона больших чисел, многих предельных теорем... [4]
В это время сформировалась ветвь математики, получившая название математической логики, которая начала изучать проблему построения выводов с формальных абстрактных позиций. [5]
Бывает, что две или больше ветвей математики срастаются друг с другом. Тогда от них берут начало побеги, для которых родительскими служат не одна, а две или больше математических дисциплин. [6]
Математическая задача минимизации некоторого интеграла связана с особой ветвью математики, называемой вариационным исчислением. Из математической теории следует, что окончательный результат можно получить, не рассматривая бесконечного множества возможных пробных траекторий. Свой математический эксперимент мы можем ограничить такими траекториями, которые бесконечно близки к действительной траектории. Пробная траектория, отличающаяся от действительной произвольным образом, но на бесконечно малую величину, называется вариацией действительной траектории. Вариационное исчисление исследует, изменения значения интеграла, вызванные подобными бесконечно малыми вариациями траектории. [7]
Первым дошедшим до нас письменным документом, содержащим изложение одной из ветвей математики ( геометрии) с помощью дедуктивного метода, является знаменитый труд Евклида ( III в. С тех пор постепенно математика по своей структуре стала противоположна всем другим естественнонаучным дисциплинам, имеющим эмпирический характер. [8]
И вот, если теория чисел по справедливости считается одной из труднейших ветвей математики, если о ней часто говорят, что она, несмотря на древнее свое происхождение, еще не нашла своего метода, - то все это в особенности верно по отношению к аддитивной теории. [9]
Правда, следует заметить, что в настоящее время нет цельной теории этой ветви математики, что привело автора к своеобразной композиции и манере изложения материала. Весь материал разбит на несколько смысловых групп, в каждой из которых приводится много интересных иллюстративных примеров и красивых математических этюдов. В каком-то смысле эту книгу можно сравнить с живописью Матисса: те же неожиданно броские фрагменты, то же калейдоскопическое чередование их, столь же скупое и подчас умышленно сжатое изложение материала и в то же время такое же ощущение композиционной и логической цельности, остающееся от всей работы. [10]
На наших глазах происходит процесс качественного изменения самой математики; открываются тесные связи между казавшимися ранее далекими ветвями математики, возникают новые математические Дисциплины. Создание быстродействующей вычислительной техники в корне изменило представление об эффективности различных математических методов и принципиально расширило сферу приложений математики. Все более расширяются связи математики с другими науками. Если раньше они ограничивались в основном механикой, астрономией, физикой, то теперь математические методы все глубже проникают в химию, геологию, биологию, медицину, экономику, языкознание. Общеизвестна роль математики в создании новых направлений техники - радиоэлектроники, атомной энергетики, космонавтики. [11]
Целью написания книги является освещение вопросов проектирования дискретных устройств с формальной точки зрения на основе одной из современных ветвей математики - теории графов. Кроме того, авторами сделана попытка проиллюстрировать приведенные алгоритмы с помощью конкретных программ на алгоритмическом языке ЛЯПАС, написанных и отлаженных на ЦВМ Минск-22. В книге наряду с оригинальным материалом приводится обзор некоторых важных результатов ( полученных советскими и зарубежными авторами) по автоматизации проектирования дискретных устройств. [12]
Смерть как хочется услышать об этом - ведь я всегда считал, что теория чисел - Царица Чистой Математики, единственная ветвь математики, не имеющая НИКАКОГО практического приложения. [13]
Появление в 1930 и 1931 гг. двухтомной Современной алгебры Ван-дер - Вардена показало широким кругам математиков, что алгебра, одна из старейших ветвей математики, радикально перестроилась, что она стала наукой теоретико-множественной, аксиоматической. Эта новая наука долго так и называлась современной алгеброй, хотя неудобства этого названия выявились довольно скоро, и сейчас с моей легкой руки утвердилось название общая алгебра. Результаты этой перестройки можно назвать взрывом; это относится и к развитию самой алгебры, и к влиянию ее на всю математику. Если начать с последнего, то можно отметить хотя бы влияние общей алгебры на развитие топологии, в частности, ее роль в создании алгебраической топологии; многостороннее влияние на развитие функционального анализа; поглощение проективной геометрии; определяющую роль при возрождении алгебраической геометрии; стимулирование появления ряда новых разделов математической логики, а также многое другое. [14]
Появление в 1930 и 1931 гг. двухтомной Современной алгебры Ван-дер - Вардепа показало широким кругам математиков, что алгебра, одна из старейших ветвей математики, радикально перестроилась, что она стала наукой теоретико-множественной, аксиоматической. Эта новая наука долго так и называлась современной алгеброй, хотя неудобства этого названия выявились довольно скоро, и сейчас с моей легкой руки утвердилось название общая алгебра. Результаты этой перестройки можно назвать взрывом; это относится и к развитию самой алгебры, и к влиянию ее на всю математику. Если начать с последнего, то можно отметить хотя бы влияние общей алгебры на развитие топологии, в частности, ее роль в создании алгебраической топологии; многостороннее влияние на развитие функционального анализа; поглощение проективной геометрии; определяющую роль при возрождении алгебраической геометрии; стимулирование появления ряда новых разделов математической логики, а также многое другое. [15]