Cтраница 4
Алгебра многочленов, развивавшаяся на протяжении многих десятилетий как наука об одном уравнении произвольной степени от одного неизвестного, теперь уже в основном закончена. Дальнейшее развитие она частично получила в некоторых разделах теории функций комплексного переменного, в основном же переросла в теорию полей, о которой скажем ниже. Что же касается очень трудного вопроса о системах уравнений от нескольких неизвестных, но не линейных, а произвольных степеней, - этот вопрос, объединяющий оба направления, разрабатываемые в курсе высшей алгебры, в самом этом курсе почти не затрагивается, - то он по существу относится к особой ветви математики, называемой алгебраической геометрией. [46]
И все же именно здесь имеется резкая граница. Ибо хотя исторически многие ветви математики и обязаны своим существованием физическим стимулам, все же то, чем занимаются сегодняшние математики, - это игра с абстрактными идеями, не имеющими ничего общего с твердыми телами. Они придумывают себе системы аксиом, исходя из логических и эстетических точек зрения, и развивают из них удивительные образы. Иногда физики находят среди них что-нибудь пригодное и используют его. [47]
Соответствует ли происходящее в реальном мире тому, что утверждают аксиомы - это уместный вопрос, когда речь идет о попытке применить соответствующую теорию к реальному миру, но этот вопрос не является частью рассматриваемой теории. Аналогично, чтобы применить теорию групп к какой-либо ветви математики, необходимо проверить, являются ли соответствующие объекты группами. Если это не так, то теорию групп применять нельзя, Но на саму теорию групп это не оказывает никакого влияния. Верны ли аксиомы теории групп - бессмысленный вопрос. Аксиомы не являются истинными ни в каком абсолютном смысле; но они могут быть истинными в некоторых конкретных ситуациях. [48]
Трудно переоценить ту роль, которую играют в парамагнитном резонансе соображения симметрии; опираясь только на них, можно получить огромное количество теоретической информации. К счастью, существует математический инструмент, можно сказать, специально созданный для того, чтобы извлекать эту информацию и переводить ее в количественные соотношения. Таким инструментом является теория представлений групп. Эта теория, которая не так давно считалась в какой-то мере заумной ветвью математики, стала доступной физикам благодаря ряду книг, адресованных в основном им, а не математикам. Такое положение ставит перед нами проблему: на каком уровне следует излагать теорию групп в книге по парамагнитному резонансу, причем кажется ясным лишь то, что эту теорию нельзя совершенно игнорировать. [49]