Cтраница 2
Когда эта книга впервые была задумана ( более 25 лет тому назад) немногие математики за пределами Советского Союза видели в теории вероятностей полноправную ветвь математики. Приложения имели ограниченные цели, а исследования конкретных проблем часто приводили к непостижимым усложнениям. Если учесть эти обстоятельства, то задуманная книга была бы написана не для существовавшей тогда аудитории и не удовлетворяла бы осознанным в то время потребностям. Однако автор надеялся привлечь внимание к мало известным сторонам теории вероятностей, установить связи между отдельными ее частями, развить единые методы и указать на возможные или вероятные приложения. Благодаря возрастанию интереса к теории вероятностей книгу неожиданно часто использовали те, кто работал за пределами математических дисциплин. Ее широкое применение в те годы объяснимо, ибо принятая в ней точка зрения была новой, а изложенный материал был недоступен иным путем. Но книга остается популярной даже и теперь, когда содержание большей части ее глав можно найти в работах, посвященных отдельным областям и хорошо приспособленных для удовлетворения более специальных нужд. [16]
В области приложений анализа ему принадлежит первое доказательство так называемой центральной предельной теоремы теории вероятностей, до сих пор являющейся важнейшим результатом в этой ветви математики. Доказательство это проведено новым, вполне оригинальным методом, общие основы которого были разработаны лишь много позднее и который вообще оказался одним из самых действенных методов аналитической теории вероятностей. [17]
Согласно современным критериям логической строгости каждая ветвь чистой математики должна быть обоснована одним из двух способов: или все ее основные понятия должны быть определены в терминах понятий некоторой предшествующей ветви математики, в таком случае ее теоремы могут быть выведены из теорем предшествующей ветви математики с помощью этих определений; или ее основные понятия берутся как неопределяемые, и ее теоремы выводятся из совокупности аксиом, включающих в себя эти неопределяемые термины. [18]
Имеется определенная условность в том, что послед-пне три примера отнесены к непрерывной математике, ибо поиск приближенного численного решения уже предполагает аппроксимацию непрерывных функций дискретными, а значит, в этих задачах непрерывная ветвь математики тесно переплетается с дискретной. От этого языка зависит, какие трудности могут возникнуть при решении С. В большинстве случаев существует сравнительно простой метод построения у. [19]
Согласно современным критериям логической строгости каждая ветвь чистой математики должна быть обоснована одним из двух способов: или все ее основные понятия должны быть определены в терминах понятий некоторой предшествующей ветви математики, в таком случае ее теоремы могут быть выведены из теорем предшествующей ветви математики с помощью этих определений; или ее основные понятия берутся как неопределяемые, и ее теоремы выводятся из совокупности аксиом, включающих в себя эти неопределяемые термины. [20]
Этот пример - простейший, который я смог придумать, тесно связан с теорией рода квадратичных форм -, области исследования, восходящей к гауссовым Dis quisitiones arith-meticae ( Арифметические исследования), в которой XX столетие ознаменовалось рядом решающих успехов, достигнутых с помощью р-адической техники, и является ти - иичньш для той наиболее чарующей ветви математики, которая была упомянута во введении - теории полей классов. [21]
Множество, наделенное топологической структурой, называют топологическим пространством, а элементы этого множества - точками. Ветвь математики, изучающая топологические структуры, носит название топологии ( этимологически - наука о положении, название само по себе мало выразительное), которое в наши дни предпочитается названию Analysis Situs, являющемуся его синонимом. [22]
Диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, и в частности диффеоморфизмы Аносова, изучались также с использованием мер, определенных на неблуждающих множествах и инвариантных относительно диффеоморфизмов. Относящаяся к динамическим системам ветвь математики, использующая эту технику для описания поведения траекторий диффеоморфизма, называется эргодической теорией. Корни этой теории идут из механики консервативных систем, где рассматриваемые диффеоморфизмы обычно сохраняют объем. Эргодическая теория диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, начинается с работ Д. В. Аносова, Я. Г. Синая и Боуэна. [23]
В 1948 году название статьи ленинградского математика Л. В. Канторовича Функциональный анализ и прикладная математика воспринималось как парадоксальное. С трудом верилось, что столь абстрактная ветвь математики может иметь какой-нибудь выход на прикладные задачи. Коллатц в книге Функциональный анализ и вычислительная математика пишет: Сегодня трудно сказать, относится ли, например, функциональный анализ к так называемой чистой математике или к так называемой прикладной. Сам Сергей Львович говорил, что теорию вычислений сейчас также невозможно представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин. [24]
Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал анализа. Математический анализ ( или просто анализ) - ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. [25]
Аксиоматический подход часто обнаруживает внутренние связи областей, лежащих, казалось бы, далеко друг от друга, и тем самым способствует унификации методов внутрч самих этих областей. Эта тенденция к объединению, различ - ных ветвей математики является другой бросающейся в глаза чертой современного развития нашей науки, причем идущей рука об руку с как будто противоположной тенденцией к аксиоматизации. Это напоминает нам человека, которого заставили оставить привычную среду, в которой он жил, но не потому, что эта среда более всего подходила ему, а в силу застарелых привычек и предрассудков, и, переместив его таким образом, позволили бы ему наладить - новые отношения, более соответствующие внутренней природе его. [26]
Научное наследство, оставленное Анатолием Ивановичем, исключительно богато и разносторонне. Его глубокие идеи еще многие годы будут питать алгебру и смежные с ней ветви математики. Анатолий Иванович ушел из жизни в полном расцвете огромных творческих сил, которые он бескорыстно и щедро направлял на развитие советской математики. Его творческая деятельность развивалась без перерывов и за последние годы достигла небывалой интенсивности, хотя вместе с этим росла и научно-организаторская деятельность. [27]
Иван Георгиевич ПЕТРОВСКИЙ является одним из самых крупных советских и мировых математиков. Его работы по системам уравнений с частными производными должны рассматриваться как составляющие фундамент совершенно нового этапа развития этой ветви математики, значение которой для математического естествознания достаточно общеизвестно. [28]
Употребляя термин гармонический также в случае функций от линий первой степени, которые вместе с производными удовлетворяют дифференциальной системе ( 7), можно сказать, что необходимым и достаточным условием существования функции от точки, сопряженной заданной функции от линии, является гармоничность этой функции от линии. Из этих рассмотрений мы видим, что теория сопряженных функций в трехмерном пространстве тесно связана с теорией гармонических функций, являющейся хорошо разработанной ветвью математики. [29]
Характерный для нашего времени интерес к задачам такого рода вызвал к жизни целый ряд новых направлений математики - своего рода новых математических наук, развивающихся с большой интенсивностью. Этот поворот к новой тематике отразился и на геометрии, определив, в частности подъем внимания к одной возникшей еще в XIX веке ветви математики - к так называемой дискретной геометрии ( о ней см., например, [24] и [25]), неожиданным образом попавшей в струю современных исканий. [30]