Cтраница 3
Теория обобщенных групп или, как предпочитают говорить некоторые специалисты в этой области, общая теория алгебраических систем с одной операцией, находится пока в стадии первых поисков своего предмета и своих задач. Различными авторами введены многочисленные типы алгебраических систем, в том или ином направлении обобщающие понятие группы; иногда эти обобщения подсказываются важными конкретными примерами или потребностями тех или иных ветвей математики, иногда же они возникают из простого желания ослабить или отбросить одну из аксиом, входящих в определение группы, что, конечно, естественно, но не слишком глубоко. Теория этих обобщений понятия группы, в свою очередь, иногда ограничивается их простейшими свойствами, непосредственно примыкающими к их определению, иногда же посвящена отдельным более глубоким вопросам, обычно при этом подсказанным некоторыми нетривиальными результатами общей теории групп. [31]
Согласно общепринятой точке зрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании так называемой аналитической геометрии. Верно то, что эта ветвь математики развивалась под влиянием книги Декарта, но Геометрия сама по себе вряд ли может рассматриваться как первый трактат по этому предмету. Там нет декартовых осей, там не выведены уравнения прямой линии и конических сечений, хотя одно частное уравнение второго порядка истолковывается как определяющее собой коническое сечение. Более того, значительная часть книги представляет собой теорию алгебраических уравнений, там содержится правило Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней. [32]
Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. [33]
Представление о той роли, которую должны играть гомологические методы в теории групп преобразований, возникло среди топологов еще в 20 - е годы нашего столетия в связи с замечательными открытиями Брауэра и Лефшеца. Дальнейшее развитие этой теории в 30 - 40 - е годы привело, с одной стороны, к работам Смита по периодическим преобразованиям, а с другой - к классификации Самельсоном и Монтгомери компактных групп, транзитивных на сферах. Однако гомологическая теория компактных групп преобразований смогла развиться в самостоятельную ветвь математики только после того извержения гомологических ( или, скорее / когомологических) идей и понятий, которое началось в конце 40 - х годов после опубликования работ Лере и А. Картана о спектральных последовательностях и пучках. Создателем теории следует считать А. Бореля, который разработал для компактных групп преобразований адекватный когомологический аппарат, в результате чего, как это часто случается, доказательства многих классических теорем приобрели характер тривиальных упражнений. [34]
Мощные компьютеры сильно расширили возможности решения задач, связанных с большими объемами вычислений, в частности игровых задач с комбинаторной неопределенностью. Отдельные обитатели соответствующих этажей даже объединяют подобные, безусловно, важные ветви математики общим новым термином математическое моделирование. [35]
Все числовые кольца и вообще кольца, которые мы до сих пор рассматривали, содержат бесконечно много элементов. Существуют, однако, кольца и даже поля, состоящие лишь из конечного числа элементов. Простейшие примеры конечных колец и конечных полей, существенно используемые в особой ветви математики - теории чисел, строятся следующим образом. [36]
Сразу после Второй мировой войны Данциг и фон Нейман, независимо друг от друга, открыли новое направление исследований. Более того, гигантский шаг в этом направлении был совершен благодаря работе Данцига ( 1951), предложившего первый ( и пока что наилучший) алгоритм решения задач линейного программирования, - широко известный ныне симплекс-метод. С той поры линейное программирование стало одной из наиболее широко и успешно применяемых ветвей математики. Причины этого успеха кроются не только в том, что задачи линейного программирования составляют сердцевину обширного многообразия математических моделей в экономике, технике и науке, но и в наличии симплекс-метода, решающего эти задачи. [37]
Хотя понятия теории вероятностей возникли из опыта и появились в своей первоначальной нестрогой форме раньше соответствующих понятий теории меры, однако та строгая формулировка, которая им дана в этой главе, основана на понятиях теории меры, в некоторой степени специализированных. Вследствие этого создается впечатление, будто теория вероятностей является частью теории меры, или же теория меры является обобщением и уточнением теории вероятностей. Поэтому важно указать, в чем же основное различие между этими двумя переплетающимися ветвями математики: различие состоит не в большей или меньшей общности понятий, а в задачах, которые изучаются в этих разделах математики. [38]
Алгебра - одна из наиболее подвижных частей математики, и нелегко сколько-нибудь точно отграничить ее от остальных разделов математики. Еще до 50 - х годов текущего столетия алгебра рассматривалась как одна из весьма абстрактных ветвей математики, вырабатывавших новые понятия и методы, проникавшие затем в более конкретные прикладные области математики и уже через посредство последних влиявшие на естествознание и технику. Начиная с 50 - х годов положение стало существенно иным. В эти годы алгебра нашла новые непосредственные выходы в естествознание, по своему значению вполне сравнимые с выходами любой другой области математики, как чистой, так и прикладной. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить роль теории групп в современной физике или роль методов общей теории алгебраических систем в решении задач синтеза и математического обеспечения больших вычислительных систем. [39]
Теория линейных дифференциальных и интегральных операторов очень выигрывает в ясности и сжатости при введении соответствующих собственных функций как вспомогательной базисной системы. В геометрической интерпретации это означает, что соответствующая поверхность второго порядка преобразуется к своим главным осям. Преобразование квадратичных форм к главным осям становится, таким образом, фундаментальным связующим звеном между весьма различными ветвями математики. Решение системы линейных алгебраических уравнений, матричное исчисление, общая теория линейных дифференциальных и интегральных операторов - все эти проблемы могут рассматриваться как различные формулировки одной и той же основной проблемы, а именно преобразование к главным осям поверхности второго порядка в эвклидовом пространстве конечного или бесконечного числа измерений. [40]
Сейчас мы хотели бы подчеркнуть, что, с другой стороны, к настоящему времени теория категорий выделяется и в самостоятельную ветвь математики со своими внутренними интересами и задачами. Теория категорий хорошо зарекомендовала себя при объяснении различных общих закономерностей математики. Очарование таинственности сменяется другим сильным ощущением понимания природы явлений. Одновременно и свои собственные тайны появляются уже у самой теории категорий. Исходная идея категории обогащается новыми понятиями и конструкциями, способствующими внутреннему развитию теории категорий и имеющими общематематическое значение. Выделяются различные свойства и классы категорий, исследуются связи между ними. Мы здесь называли декартово замкнутые категории и топо-сы, выделяли абелевы категории, можно указать и другие интересные классы. [41]
Эта книга не претендует на то, чтобы охватить все существующие приложения теории полугрупп. Я отобрал ряд вопросов, руководствуясь двумя связанными друг с другом соображениями. Во-вторых, я хотел отчетливо показать, как изучение полугрупп, рассматриваемых в качестве представителей генерической структуры, вплетается в изучение более комплексных ветвей математики, наподобие теории автоматов, теории формальных языков и комбинаторики в целом. [42]
Индии и был с некоторыми дополнениями донесен до нас арабами; так, понятие числа при таком подходе логически предшествует понятиям геометрии. В результате этого мы применяли наше систематически разработанное понятие числа ко всем разделам, независимо от того, было ли оно самым подходящим в этих конкретных применениях. Однако на современном этапе в математике явно просматривается тенденция к возврату к греческой точке зрения; теперь мы считаем, что каждая ветвь математики определяется своим собственным характерным для нее множеством величин. Алгебраист наших дней рассматривает множество вещественных или комплексных чисел просто как одно поле среди многих других; современную аксиоматику проективной геометрии можно считать геометрической копией этого взгляда. Эта обновленная математика, включающая современную теорию групп и абстрактную алгебру, развивается в духе, явно отличном от общего духа классической математики, которая нашла свое наивысшее выражение в теории функций комплексного переменного. [43]
В связи с кватернионами возник еще один конфликт - борьба между приверженцами Гамильтона и Грассмана, когда благодаря усилиям Гиббса в Америке и Хевисайда в Англии векторный анализ стал независимой ветвью математики. [44]
Научное творчество М.Г.Крейна охватывает различные разделы алгебры, анализа, механики. Результаты, полученные Марком Григорьевичом в каждой из указанных областей, оказали существенное влияние на их развитие. Что касается функционального анализа, то, явившись живительным источником для исследований многих математиков как в нашей стране, так и за ее пределами, они в значительной степени определили современный облик этой ветви математики. [45]