Рунге-кутта

Cтраница 4

В случае определения поведения жидкости конечно-разностными методами удобно применять эти же методы и для исследования динамики оболочки, что вызвано необходимостью стыковки на каждом шаге по времени решений уравнений движения жидкости и оболочки. Конечно-разностные методы являются также более экономичными по сравнению с методом Рунге-Кутты и, несмотря на то, что имеют меньший порядок аппроксимации по времени, не приводят к существенной потере точности. [46]

Уравнение движения (13.91) является независимым, следовательно, оно может быть решено совместно с граничными условиями (13.94) численно, например методом - Рунге-Кутта, после чего будут определены функции / ( т)), df / dr ] и d2f / dj ] 2, входящие в уравнение энергии. Уравнение энергии (13.92) представляет собой нелинейное интегродифференциаль-ное уравнение в частных производных, потому что член, учитывающий перенос энергии излучением, содержит температуру в четвертой степени под знаком интеграла; поэтому его решение получается не так просто, как решение уравнения движения. В работе [38] использован метод конечных разностей и получено численное решение этого уравнения; при этом в качестве независимой переменной выступала г, а продольная координата рассматривалась как параметр. Вычисления велись до значения ц 20, что достаточно, чтобы профиль температуры вышел на асимптоту. [47]

Результаты расчета по одному алгоритму по программам на разных языках могут отличаться в последнем разряде за счет различней реализации компиляторами арифметических операций с плавающей запятой. Данные, полученные по программе 6.5 при заданной точности 10 - 6, не зависят от шага, так как последний в методе Рунге-Кутты - Мерсона выбирается автоматически. [48]

Блок-схема программы решения задачи на собственные значения методом конечных разностей. [49]

При одинаковом шаге и порядке метод конечных разностей требует вдвое меньшего объема вычислений коэффициентов дифференциальных уравнений по сравнению с методом стрельбы. Это объясняется тем, что для получения значений собственных функций по формуле ( 7 - 38) в каждом узле необходимо только один раз вычислить коэффициент q в то время как метод Рунге-Кутты второго порядка на каждом шаге дважды обращается к вычислению правых частей системы ОДУ. [50]

Построение цифровых моделей динамических звеньев - собственно эмуляция - осуществляется более сложным образом, с привлечением аппарата преобразования Лапласа и численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на разложении в ряд Тейлора ( в частности, методов Эйлера, Эйле-ра - Коши и Рунге-Кутта) и использовании рекуррентных ( итеративных) представлений. [51]

Конечно, далеко не всегда системы уравнений, имеющие неустойчивые решения, невозможно численно решить. Еслп чувствительность системы не очень велика, то либо применение обычных методов численного интегрирования ( например. Рунге-Кутта либо же более точных и сложных 131) в большинстве случаев дает возможность получить численное решение. [52]

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (6.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f ( x, у) в точках на интервале [ х0, х0 h ], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора В зависимости от старшей степени п, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности. [53]

Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения. Основная трудность [ см. уравнения ( 177) - ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора. [54]

Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения, Основная трудность [ см. уравнения ( 177) - ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора. [55]

Страницы: 1 2 3 4