Рюэль
Cтраница 3
Чтобы избежать путаницы, вызванной употреблением слова турбулентность, заметим, что здесь подразумевается только турбулентность во времени. Результаты, полученные Рюэлем, Такен-сом и Ньюхаузом, также относятся к начальной стадии турбулентности или хаотического движения во времени. На самом деле одна из целей ( хотя еще и не результат) исследования детерминированного хаоса в гидродинамических системах - понять механизмы происхождения развитой турбулентности, под которой подразумевается нерегулярное поведение и во времени, и в пространстве. [31]
Известно [141, 246, 452], что орегонатор отражает основные черты автоколебательной реакции Белоусова - Жаботинского. Еще в 1973 г. Рюэлем [624] было высказано предположение, что в реакции Белоусова - Жаботинского колебания концентраций могут быть не только периодическими, но и хаотическими. [32]
 |
Конвективные валы. [33] |
Наконец, в 1971 г. Рюэлем и Таксисом была высказана еще одна гипотеза, связанная с идеей динамического хаоса и представляющаяся сейчас наиболее предпочтительной. [34]
Одним из наиболее волнующих результатов последних исследований по динамике является понятие странного аттрактора. Это понятие появилось в связи с работой Лоренца по атмосферным явлениям [145], а возникновение хаоса при решении простого детерминистического дифференциального уравнения было привлечено Рюэлем и Такенсом [146] для объяснения гидродинамической турбулентности. В этой области по-прежнему имеется целый ряд нерешенных вопросов, о которых будет сказано в гл. [35]
Релея становится больше критического значения г - 24.74.) то означает ( [29]), что все решения неустойчивы и почти все из них апери-одичны, хотя существует бесконечное число периодических решений с различными периодами. Хаотическое поведение и чувствительная зависимость от начальных условий решений дифференциальных уравнений обеспечивают основной механизм появления турбулентности. Странный аттрактор по Рюэлю и Такенсу, которые впервые ввели этот термин, - это, по существу, любое связное компактное притягивающее множество, не являющееся ни состоянием равновесия, ни предельным циклом, ни гладкой поверхностью. Но это множество является аттрактором. На самом же множестве решения ведут себя неустойчивым образом. Заметим, что название странный аттрактор объясняется скорее формой ( геометрией) инвариантного множества, чем динамическими свойствами. Возможно, понятие странного аттрактора, введенное Рюэлем и Таксисом, является жертвой успеха, связанного с общим подходом, и желательно определить это понятие более точно. Афраймович ( [8]) предложил называть аттрактор странным, если он отличен от конечного объединения гладких многообразий. [36]
Рюэль и Такенс [627] обратили внимание на то, что путь, указанный Ландау, не общий, что общая возможность - это образование странного аттрактора. Но как возникает странный аттрактор, они не исследовали. Идеи, высказанные Рюэлем и Такенсом в 1971 г., имеют свою предысторию. [37]
Мы завершим этот раздел кратким описанием одного обобщения понятия топологической энтропии, которое обещает быть весьма плодотворным для дальнейших исследований. Речь идет о давлении непрерывного отображения компактного мет-ризуемого пространства в себя. Это понятие, введенное первоначально Рюэлем [130] и в несколько более общей ситуации Уолтерсом [162], является, как легко видеть, естественным обобщением приведенного в этом разделе определения топологической энтропии. Давление и ( метрическая) энтропия отображения связаны вариационным принципом, пришедшим из статистической механики. Этот принцип придает энтропии ее операциональное значение посредством установления ее связи с другими термодинамическими переменными. [38]
Особо отметим монографию Георги [3], вобравшую в себя значительную часть того, что было сделано к середине 80 - х годов. Но и на этом фоне книга Рюэля не представляется лишь литературным памятником. От всех перечисленных книг она отличается двумя особенностями. Одна из них - это уже упоминавшийся динамический подход, другая состоит в том, что рассматриваемые модели статистической физики на счетном множестве, в частности, на решетке, описываются вероятностными мерами, сосредоточенными, вообще говоря, не на всем пространстве конфигураций, а лишь на множестве допустимых конфигураций. Это обстоятельство, которое автор считает главным признаком общности модели ( см. введение), равносильно тому, что потенциал взаимодействия, определяющий модель, принимает как действительные значения, так и значение оо, или, на другом языке, что у частиц может быть твердая сердцевина. Стоит заметить, что именно модели с твердой сердцевиной, как правило, возникают при изучении динамических систем методами символической динамики, хотя теория таких моделей гораздо менее продвинута, чем теория моделей без твердой сердцевины. Таким образом, две упомянутые особенности подхода Рюэля связаны между собой. [39]
Во-вторых, удар по традиционным представлениям относительно свойств макроскопического мира был нанесен той легкостью, с которой сценарии эволюции детерминированных макроскопических систем ( например, систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями) порождают нерегулярные апериодические решения, называемые хаотическими или турбулентными. Такие решения, полученные одновременно с развитием неравновесной теории устойчивости, вызвали потрясение в физических и биологических науках: новые режимы разительно отличались от сценария, предложенного Л. Д. Ландау для объяснения гидродинамической турбулентности, а именно возбуждения бесконечного числа частотных мод в непрерывной системе. В первом альтернативном сценарии, предложенном Рюэлем и Такенсом [1.17], использованы только три частоты. Шумное поведение в этом сценарии было связано со странным аттрактором, возникавшим после трех последовательных бифуркаций рождения цикла. Нельзя не удивляться тому, что странный аттрактор, порождающий турбулентный режим, может существовать уже в системах столь малой размерности, а именно в системах, описываемых тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. [40]
При достаточно большом е возмущение еНг разрушает все торы. При этом с увеличением возмущения последним разрушается КАМ-тор с наиболее иррациональным соотношением частот ы / 2 ( V5 - 1) / 2 ( см. разд. Разрушение этого тора в некотором смысле аналогично механизму Рюэля - Такенса возникновения хаоса в диссипативных системах. Действительно, Шенкер и Каданов ( Shenker, Kadanoff, 1982), а также Маккей ( McKay, 1983), изучая бездиссипативное ф 1) отображение кольца в себя (5.56), нашли, что последняя КАМ-траектория разрушается универсальным образом в соответствии с законами самоподобия. [41]
Существует несколько неэквивалентных способов, позволяющих заменить в термодинамическом формализме Z на R. Здесь мы не будем рассматривать обычную статистическую механику непрерывных одномерных систем ( см. Рюэль [3]), а опишем формализм, пригодный для изучения потоков на дифференцируемых многообразиях. [42]
Peitgen, Richter, 1984) - позволило ввести линии уровня следующим образом: начальная точка окрашивается в соответствии с числом итераций, необходимых, чтобы точка покинула круг заданного радиуса R. Показано ( Douady, Hubbard, 1982), что линии равного цвета можно интерпретировать как эквипотенциальные, если множество М рассматривать как заряженный проводник. На фото VIII-XV ( на вклейке) представлены прекрасные результаты этой работы, возвращающие нас к замечанию Рюэля, приведенному в начале этого раздела. [44]
Однако содержание книги Рюэля, который, вероятно, первым начал употреблять этот термин, показывает, что речь идет о математических методах статистической физики, основанных на введенном в конце 60 - х годов Р. Л. Доб-рушиным и, независимо, О. Но и это еще не все: сегодня термодинамический формализм скорее воспринимается даже не как часть статистической физики, а как идеологически близкий к ней раздел теории динамических систем. Такое изменение произошло, в частности, под влиянием статьи Я. Г. Синая [4], опубликованной еще до книги Рюэля, да и содержание некоторых глав этой книги ( особенно глав 6 и 7), как сможет убедиться читатель, во многом способствует такому восприятию. [45]
Страницы: 1 2 3 4