Рюэль

Cтраница 4

Аналогичное знакомство и последующая реакция несколько позднее произошли и в ряде других стран. Можно указать на семинары 1976 - 1977 гг. по турбулентности и уравнению Навье - Стокса, семинар по точечным отображениям и их приложениям 1973 г. в Тулузе. Навье - Стокса 1976 - 1977 гг. стали работа Лоренца 1963 г. [563] о непериодическом характере движений трех-модовой модели конвективной турбулентности и работа Рюэля и Такенса 1971 г. [627], содержавшая новые предположения о природе турбулентности. Эти работы были переизданы и именно вокруг них сконцентрировались многие из последующих работ. [46]

Аттрактор Хенона. Восстановленный фазовый портрет посредством сдвига X на одну итерацию. [47]

С поместим величины X, сдвинутые на одну итерацию ( в ячейку С1 поместим величину из ячейки А2), и копируем их вниз до конца столбца А. Величины в столбцах В и С будут различны. На графике аттрактора Хенона в координатах X, Y поменяем местами столбец В со столбцом С, содержащим величины V ТОЧРЧНОГО графика. Если вам даны только величины в столбце А без указания уравнений (11.1) или того, что это именно отображение Хенона, вы все равно сможете получить аттрактор Хенона. Рюэль доказал математически, что такое восстановленное фазовое пространство имеет такую же фрактальную размерность и спектр показателей Ляпунова, как и настоящее фазовое пространство двух переменных. Восстановленное фазовое пространство может быть рассчитано просто по наблюдениям, в отсутствие уравнений движения. [48]

Мы будем применять эту модель в наших обсуждениях, хотя она и не является самой стандартной ни с физической, ни с исторической точек зрения. Обычно при изучении равновесных систем рассматривают так называемый термодинамический предел конечных систем в фазовом пространстве. Последние описываются с помощью микроканонического, канонического или большого канонического гиббсовских ансамблей. Вое, кто занимался статистической механикой, были твердо убеждены в том, что различные ансамбли в термодинамическом пределе дают эквивалентные описания. В книге Рюэля [131] доказывается, что вычисление всякой термодинамической переменной с использованием термодинамического предела конечных систем, описываемых одним из этих ансамблей, равносильно ее вычислению с использованием любого другого ансамбля. В [9] показано, что различные ансамбли приводят в термодинамическом пределе к почти эквивалентным мерам ( корреляционным функциям) при довольно слабых дополнительных предположениях. Мы говорим почти, поскольку при отсутствии единственности предельного состояния, как будет в случае фазового перехода, эквивалентность устанавливается между множествами предельных состояний, отвечающих различным ансамблям. [49]

Теорема Рюэля и Такенса [101, 247] утверждает, что если существует векторное поле v на трехмерном торе, отвечающее трахчастотному квазипериодическому движению, то в любе и окрестности / соответствующей точки функционального пространства Ф найдутся векторные поля v на трехмерном торе, обладающие странными аттракторами. Аналогичное утверждение справедливо для квазипериодических движений и на торах большей размерности. Иначе говоря, в принципе достаточно слабо возмутить правые части системы ( 1), чтобы движение из квазипериодического с тремя несоизмеримыми частотами перешло в хаотическое. Однако это выполняется не для всех векторных нолей v, имеющихся в окрестности U. Если бы векторное поле v было структурно неустойчиво, то, действительно, какие-угодно малые возмущения привели бы к разрушению трехмерного тора и появлению режима движения, качественно отличного от квазипериодического. Теорема Рюэля - Такенса утверждает, что при малых возмущениях поля v может возникнуть странный аттрактор: в окрестности U существуют поля v, среди которых есть такие, которые имеют странные аттракторы, и такие, которые не обладают ими. [50]

Хотя в литературе часто встречается словосочетание сценарий Рюэля и Такенса, его нельзя признать вполне правомерным, поскольку на самом деле они не дали явного описания последовательности бифуркаций на пути от порядка к хаосу. Что же в действительности ими было доказано. Если сформулировать основной результат на физическом языке, то он сводится к следующему. Пусть мы имеем М 3 диссипативных систем, каждая из которых демонстрирует периодические автоколебания на своей частоте, причем все частоты находятся в иррациональных отношениях. В этом случае система, составленная из несвязанных подсистем, будет иметь аттрактором М - мерный тор. Согласно Рюэлю и Такенсу, при сколь угодно малой величине связи можно так подобрать вид этой связи, что реализуется странный аттрактор, и динамика будет хаотической. Ими доказан даже более сильный результат. Представим себе пространство функций, которые стоят в правых частях динамических уравнений системы. Утверждается, что в этом пространстве множество точек, соответствующих хаотической динамике, является всюду плотным в сколь угодно малой окрестности точки, отвечающей отсутствию связи. [51]

Релея становится больше критического значения г - 24.74.) то означает ( [29]), что все решения неустойчивы и почти все из них апери-одичны, хотя существует бесконечное число периодических решений с различными периодами. Хаотическое поведение и чувствительная зависимость от начальных условий решений дифференциальных уравнений обеспечивают основной механизм появления турбулентности. Странный аттрактор по Рюэлю и Такенсу, которые впервые ввели этот термин, - это, по существу, любое связное компактное притягивающее множество, не являющееся ни состоянием равновесия, ни предельным циклом, ни гладкой поверхностью. Но это множество является аттрактором. На самом же множестве решения ведут себя неустойчивым образом. Заметим, что название странный аттрактор объясняется скорее формой ( геометрией) инвариантного множества, чем динамическими свойствами. Возможно, понятие странного аттрактора, введенное Рюэлем и Таксисом, является жертвой успеха, связанного с общим подходом, и желательно определить это понятие более точно. Афраймович ( [8]) предложил называть аттрактор странным, если он отличен от конечного объединения гладких многообразий. [52]

Особо отметим монографию Георги [3], вобравшую в себя значительную часть того, что было сделано к середине 80 - х годов. Но и на этом фоне книга Рюэля не представляется лишь литературным памятником. От всех перечисленных книг она отличается двумя особенностями. Одна из них - это уже упоминавшийся динамический подход, другая состоит в том, что рассматриваемые модели статистической физики на счетном множестве, в частности, на решетке, описываются вероятностными мерами, сосредоточенными, вообще говоря, не на всем пространстве конфигураций, а лишь на множестве допустимых конфигураций. Это обстоятельство, которое автор считает главным признаком общности модели ( см. введение), равносильно тому, что потенциал взаимодействия, определяющий модель, принимает как действительные значения, так и значение оо, или, на другом языке, что у частиц может быть твердая сердцевина. Стоит заметить, что именно модели с твердой сердцевиной, как правило, возникают при изучении динамических систем методами символической динамики, хотя теория таких моделей гораздо менее продвинута, чем теория моделей без твердой сердцевины. Таким образом, две упомянутые особенности подхода Рюэля связаны между собой. [53]

Страницы: 1 2 3 4