Cтраница 2
Вопросы сходимости и суммируемости общих ортогональных рядов - это, быть может, наиболее ярко выраженная область применения понятий интеграла Лебега и интеграла Лебега-Стильтьеса. Так, например, теорема Меньшова-Радемахера о сходимости общих ортогональных рядов обеспечивает сходимость почти всюду некоторых рядов Фурье с нерегулярными лакунами, в то время как теоремы о сходимости, полученные специально для рядов Фурье, не дают возможности ответить на этот вопрос в указанных случаях. Более того, проблемы сходимости ортогональных рядов тесно связаны со многими другими областями анализа, в частности с теорией вероятностей. Можно даже утверждать, что многие теоремы из теории ортогональных рядов и из теории вероятностей являются, собственно говоря, одними и теми же математическими фактами, только по-разному сформулированными. [16]
Между ортогональным разложением и ортогональным рядом имеется существенное различие. [17]
Фурье - Лежандра) есть, ортогональный ряд по ортогональной на сегмецте [-1, 1] системе полиномов Лежандра ( стр. [18]
Прежде чем перейти к рассмотрению сходимости ортогональных рядов, мы кратко напомним некоторые факты из теории числовых рядов, необходимые нам для дальнейшего изложения. [19]
Если система нелинейна, то использование ортогональных рядов приводит к рядам Винера, получаемым путем ортогонализации функциональных полиномов Вольтерра. [20]
Представление импульсной переходной функции в виде ортогонального ряда является полезным с той точки зрения, что такое представление позволит использовать прямые методы вариационного исчисления, с помощью которых задача оптимизации решается значительно проще, чем использование, предположим, метода последовательных приближений в функциональном пространстве. При использовании понятия ДОСХ автоматически решается задача реализации найденного оператора. В качестве дискретного базиса при рассмотрении вопросов построения аналитических самонастраивающихся моделей и систем выбираются функции, определенные на интервале ( 0, оо ] и имеющие дискретное преобразование Лапласа. Эти функции легко физически реализуются с помощью RC - элементов и ЦВМ. [21]
Широкая область применения и глубина теории сходимости ортогональных рядов оправдывают систематическое изложение этой теории. Хотя задача такого рода была хорошо выполнена в известной книге Качмажа и Штейнгауза, однако со времени ее появления прошло уже 25 лет, и с тех пор в этой теории получено много новых красивых и важных результатов. Это обстоятельство позволяет нам надеяться, что настоящая книга не будет воспринята как излишняя. [22]
Если выполнено условие ( 45), то ортогональный ряд ( 42) очень сильно ( С, 1) - суммируем почти всюду. [23]
Он доказал, что из абсолютной сходимости почти везде ортогонального ряда 2 СпРп () по равномерно ограниченным функциям следует сходимость ряда 2 сп - Если же отбросить условие равномерной ограниченности функций системы, то нельзя гарантировать даже стремления коэффициентов сп к нулю. [24]
Большой цикл исследований проведен по проблеме сходимости почти всюду тригонометрических и ортогональных рядов. [25]
Возьмем расходящийся всюду на [ О, 1 ] ортогональный ряд Меньшова ( см. [20 ], стр. [26]
С помощью теоремы 2.7.3 легко перейти от теории сходимости ортогональных рядов к теории их суммируемости. [27]
ЫДп) называется д и скр етн ы м ортогональным рядом. [28]
Все эти рассуждения показывают, что в общей теории сходимости ортогональных рядов получены в некоторой степени окончательные результаты. [29]
В частности, она может быть применена к вопросам сходимости ортогональных рядов, для которых уже обеспечена А-суммируемость, как, например, для рядов Фурье. [30]