Cтраница 3
Теперь доказанную выше теорему 3.2.1 мы применим к теории суммирования классов ортогональных рядов, являющихся обобщением рядов Радемахера-Уолша. С этой целью мы обобщим установленное в § 7 гл. I свойство функций Радемахера, состоящее в том, что конечные произведения этих функций также образуют ортонормированную систему. [31]
Ряд Фурье по ф-циям Бесселя ( ряд Фурье - Бесселя) есть ортогональный ряд по ортогональной на сегменте [ О, 1 ] с р ( х) - х той или иной из систем ( ортогональных) ф-ций Бесселя ( стр. [32]
Фурье функции / по системе %, В доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов играют важную роль неравенство Бесселя и теорема Рисса - Фишера. [33]
В первом случае статистическая линеаризация нелинейности или представление процесса на ее выходе ортогональным рядом [11] позволяет для исследования системы применить изложенную выше методику. [34]
До сих пор мы преимущественно занимались вопросом, сходится ли в каком-либо смысле ортогональный ряд, сумма квадратов коэффициентов которого сходится; при этом мы не интересовались тем, какую функцию представляет этот ряд. Теперь мы покажем, что полнота ортонормированной системы обеспечивает возможность образования универсальных рядов. [35]
Но тогда теорема верна на основании теоремы 1 § 14.6 из общей теории ортогональных рядов. [36]
Подробно рассмотрены вопросы выбора ортогонального базиса, а также некоторые методы улучшения сходимости ортогональных рядов. [37]
Поэтому изложению метода Фурье мы предпосылаем ряд задач на свойства ортогональных систем, ортогональных рядов и на решение краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. [38]
Прежде чем перейти к исследованию ортогонального представления функции, рассмотрим основные вопросы теории ортогональных рядов дискретного аргумента. [39]
R, Я, 1) - метод, который почти всюду суммирует этот ортогональный ряд. Тогда, полагая Я & и применяя теорему 2.8.8, выводим ( R, Яп 1) - суммируемость почти всюду заданного ортогонального ряда. [40]
Этот результат можно также сформулировать следующим образом: Если спрп ( х) - произвольный ортогональный ряд с коэффициентами, удовлетворяющими условию ( 61), то существует не зависящий от коэф. Это обстоятельство позволяет надеяться, что с помощью перестановки членов ( зависящей как от системы рп ( х), так и от последовательности коэффициентов с) для частичных сумм переставленного ряда можно, вероятно, добиться оценки sn ( x) Ох ( 1) почти всюду. Отсюда легко выводилась бы также и сходимость почти всюду соответствующим образом переставленного ряда. Поэтому мы ставим следующую проблему: для каждого ли ортогонального ряда с коэффициентами, удовлетворяющими условию ( 61), существует такой порядок членов, зависящий, может быть, от коэффициентов, что ряд, полученный из данного перестановкой членов, сходится почти всюду, или же существует ортогональный ряд с коэффициентами, удовлетворяющими условию ( 61), который при любом порядке его членов расходится на множестве положительной меры. [41]
Недавно Лейндлер [1] соответствующим уточнением метода Меньшова показал справедливость следующего утверждения: если для ортогональных рядов можно установить общую теорему о расходимости, то существует ряд, имеющий тот же характер расходимости, членами которого являются ортонормированные полиномы. Доказательство этого утверждения тоже длинно и трудно. [42]
Как и в других разделах, мы далеко не исчерпали всего разнообразия советских работ по теории ортогональных рядов, но место не позволяет нам войти в дальнейшие подробности. [43]
Наконец, отметим интересную работу Стечкина [3], в которой устанавливаются необходимые и достаточные условия абсолютной сходимости ортогональных рядов. [44]
Последнее условие, в силу 2.8.1, обеспечивает ( С, а) - суммируемость почти всюду этого ортогонального ряда. [45]