Бифуркационное значение - параметр
Cтраница 3
Дифференциальные уравнения (7.13.6) совместно с краевыми условиями (7.13.9), (7.13.10) дают формулировку однородной краевой задачи; условия существования ее нетривиальных решений определяют бифуркационные значения параметра р наименьшее из них представляет критическое давление. Аналогичные вычисления позволяют сформулировать краевую задачу, относящуюся к разысканию критического наружного давления в случае полого круглого цилиндра. [31]
Структура популяции, эволюционирующей согласно уравнению (8.141), может претерпевать и переходы, подобные фазовым переходам второго рода, если при некоторых бифуркационных значениях параметров нарушается устойчивость стационарных состояний по отношению к малым флуктуациям. Стационарная зависимость p ( ai) имеет излом в точке ао 0, характерный для фазового перехода второго рода - кривые p ( ai), т.е. р ( - к), совершенно подобны изображенным на рис. 8.47. Величины р, сс0 и ai - aw - к аналогичны, соответственно, намагничению, напряженности магнитного поля и отклонению от точки Кюри ( Т - ТК) / ТК для перехода ферромагнетик - парамагнетик. [32]
Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и 22 называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и ( зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны1 над этими окрестностями бифуркационных значений. [33]
Хотя в данном контексте структурно неустойчивые модели выглядят изгоями, их попадание в поле зрения нормального математического исследования - вещь естественная и часто обязательная. Бифуркационные значения параметра, например, это как раз те значения е, при которых система структурно неустойчива в любом разумном смысле. Но именно такие ситуации, когда параметр системы проходит через критическое значение, широко распространены. [34]
Предельное значение параметра К, при котором якобиан / ( д: ) меняет знак, является бифуркационным. Бифуркационное значение параметра № характеризует верхнюю критическую нагрузку, если в точке я в) положительный знак перед 1 ( х) меняется на отрицательный. Переход от минуса к плюсу соответствует нижней критической нагрузке. [35]
 |
Точки пересечения иа диаграмме решений. [36] |
При переходе а через значение о происходит бифуркация: появляется или исчезает пара решений. Значение а0 мы называем бифуркационным значением параметра. [37]
Для однопараметрических семейств общего положения все бифуркационные значения параметра регулярны. Если фазовое пространство компактно, то бифуркационные значения параметра изолированы. [38]
Повторяя сказанное ниже авторами, подчеркнем еще раз: название-этого параграфа шире его содержания. Речь идет здесь только о нахождении бифуркационного значения параметра ( и соответствующих координат положения равновесия), а не о численном изучении самой бифуркации. [39]
Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами ( особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркационными, при которых появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я па фазовой плоскости появляется только один особый элемент, говорят, что автономная система второго порядка (3.6) обладает первой степенью негрубости. [40]
Новорожденный цикл большего периода снова имеет мультипликатор 1 кратности 2, который достаточно часто ( грубо говоря, с вероятностью половина) при изменении параметра будет двигаться по единичной окружности. Таким образом, в принципе возникает ветвящаяся схема бифуркационных значений параметра, занумерованных всеми конечными последовательностями рациональных чисел. Обычная последовательность удвоений отвечает натуральному ряду. [41]
Метод точечных преобразований удобен, в частности, для определения влияния изменения разных параметров системы на характер переходных процессов в ней. При этом могут быть определены критические, так называемые бифуркационные значения параметров, переход через которые качественно меняет фазовый портрет системы. [42]
 |
Рождение устойчивого предельного цикла. [43] |
Как было сказано в главе I, при о О, Д 0 положение равновесия является либо центром, либо сложным фокусом. Если осуществляется вторая возможность, то при переходе через бифуркационное значение параметра вокруг фокуса появляется предельный цикл или, наоборот, предельный цикл, окружавший положение равновесия, стягивается в него. [44]
То, что этими случаями исчерпываются все возможности, можно убедиться путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один из них, тогда при бифуркационном значении параметра кривая Г - не точка, расположена в ограниченной области, в ее достаточно малой окрестности ног особых точек и поэтому для нее существует секущая S и точечное отображение Т не только при бифуркационном значении параметра, но и в его малой окрестности. [45]
Страницы: 1 2 3 4