Cтраница 4
Поэтому на уравнения ( 1) с ограниченными операторами переносятся почти без изменений в доказательствах теоремы из § 11 о бифуркационных значениях параметров. [46]
В / и-мерном пространстве этих параметров каждой точке соответствует определенная структура фазового пространства и, следовательно, может быть указана гиперповерхность, разделяющая пространство параметров на области, соответствующие системам, имеющим одинаковую топологическую структуру фазового пространства. В частном случае, когда рассматриваемая система может быть однозначно определена заданием двух параметров, пространством параметров служит обычная плоскость, а бифуркационные значения параметров определяют кривую в этой плоскости. [47]
В последней, шестой главе указаны простейшие приложения общих теорем, установленных в основной части книги. Здесь описаны общие пути применения теорем о непрерывности и полной непрерывности интегральных операторов для доказательства разрешимости различных уравнений, для оценки числа решений, для обоснования сходимости некоторых приближенных методов, для исследования бифуркационных значений параметров и др. Изложены применения дробных степеней операторов к анализу сходимости рядов Фурье и метода Фурье решения краевых задач. Изучен оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховых пространствах; неподвижные точки таких операторов определяют, например, периодические решения параболических уравнений. [48]
То, что этими случаями исчерпываются все возможности, можно убедиться путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один из них, тогда при бифуркационном значении параметра кривая Г - не точка, расположена в ограниченной области, в ее достаточно малой окрестности ног особых точек и поэтому для нее существует секущая S и точечное отображение Т не только при бифуркационном значении параметра, но и в его малой окрестности. [49]
Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачками при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят - бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. [50]
Поэтому имеющая значение характеристика решения хп состоит в определении ее особенностей и в описании поведения последних при изменении параметра А. Любые, полученные таким образом, изменения особенностей или их свойств при изменении А называются бифуркацией. Значение А, при котором происходят эти изменения, называется бифуркационным значением параметра. [51]
Для иллюстрации на рис. 8 - 17, в показано возможное изменение диаграммы точечного преобразования системы при вариации ее параметров. Кривая 3 соответствует устойчивости в целом. Кривая 2 касается биссектрисы в точке, соответствующей полуустойчивому циклу. Эта кривая определяет бифуркационные значения параметров системы, при которых система находится на границе между качественно различными типами фазового портрета. [52]
При JTOM главную роль играет решение вопроса о предельных циклах. Если функции до - / о зависят от параметров, то практически важным вопросом является вопрос о разбиении пространства параметров на области с разной топологией. Границы таких областей отвечают бифуркационным значениям параметров. [53]
Следующий шаг состоит в изучении зависимости особых точек и периодических движений от параметров, в изучении того, как происходит переход от одного типа особой точки или периодического движения к другому, как они возникают и исчезают. Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачком при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят, - бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. [54]
Предположим, что поток fe, скажем, при 0 ее, является системой Морса-Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 ее на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина - неустойчивы ( седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Те образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е - бифуркационное значение параметра, и при е8 осуществляется бифуркация коразмерности 1-одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при ее на Тс, либо бифуркация, связанная с образованием гомо - и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из сед-ловых циклов. [55]