Cтраница 3
В этом случае Г задают на М аффинную связность с нулевым тензором кручения. Обратно, для всякой аффинной связности уравнения геодезич. В общем случае W, каким бы гладким оно ни было вне нулевого сечения расслоения ТМ, не обязано быть полем класса С2 возле этого сечения. [31]
Для риманова пространства можно согласовать метрику и аффинную связность с помощью следующего естественного постулата: метрика gt ( x) инвариантна относительно параллельного переноса вдоль любой кривой. [32]
Верно и обратное: если яа римановом Мп дана симметричная аффинная связность, в которой параллельный перенос вдоль любой кривой сохраняет скалярное произведение, то эта связность - риманова. [33]
На дифференцируемом многообразии Хп, в котором определен объект аффинной связности, вводится понятие ковариантной производной тензорного поля произвольного типа ( Q на всем Хп или в некоторой невырожденной его n - мерной области. [34]
Римановым пространством ( или пространством Римана) называется пространство аффинной связности без кручения, допускающее метрическую связность, совместную с аффинной связностью. [35]
Так как понятие параллелизма имеет место и в пространствах аффинной связности, то геодезические совершенно так же могут быть определены в этих многообразиях ( [191], стр. [36]
Так как понятие параллелизма имеет место и в пространствах аффинной связности, то геодезические совершенно так же могут быть определены в этих многообразиях ( [170], стр. [37]
В определении такого пространства содержатся понятия параллельного переноса и аффинной связности. Действительно, здесь можно говорить об однозначном параллельном переносе на конечные расстояния. Это значит, что можно говорить о параллельности векторов, находящихся на большом расстоянии друг от друга, и, следовательно, рассматриваемое пространство является плоским. Однако ввести несингулярную метрику в таком пространстве оказывается невозможным. [38]
Каноническую эрмитову связность эрмитовой метрики g можно рассматривать как аффинную связность с кручением Т на М, относительно к-рой поля / и g ковариантно постоянны. Среди всех аффинных связ-востей, удовлетворяющих этим условиям, она однозначно характеризуется тождеством T ( JX, Y) - T ( X, JY), справедливым для ее тензора кручения Т и произвольных векторных полей X, Y. Тензор кривизны R канонич. [39]
Cavtan), к-рый построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности. [40]
В принципе данная теорема дает возможность для любых двух пространств аффинной связности Ап и Ап выяснить, допускают они геодезическое отображение друг на друга или нет. Но так как ( 12) относительно функций (1.102) представляют собою нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, фактическое решение указанного выше вопроса весьма затруднительно. [41]
Такие пространства в римановой геометрии и в более общем случае пространства аффинной связности принято называть симметрическими, и их исследованию посвящен целый ряд работ ( см § 14), начатых П. А. Широковым ( 83) и с особой глубиной развитых в трудах Картана [183], установившего глубокую связь таких римановых многообразий с теорией групп Ли. [42]
Здесь Tljk и R ] ki составляют соответственно тензор кручения и тензор кривизны аффинной связности на М, Последние два уравнения на компоненты С. [43]
Поня-тие параллельного перенесения вектора вдоль кривой на поверхности пространства привело к теории пространств аффинной связности. [44]
Определение геодезической линии, принятое нами в римановом пространстве, переносится на случай пространства аффинной связности в следующей формулировке: геодезическая линия есть кривая, для которой касательный вектор после параллельного переноса в любую точку остается касательным. [45]