Cтраница 3
На границе 6 - 2 ( см. рис. 111 - 16) должны сливаться седло и положение равновесия В, но это может произойти только после исчезновения неустойчивого цикла, охватывающего положение равновесия В; это исчезновение осуществляется следующим образом: в какой-то момент появляется петля сепаратрисы седла, в которую влипает цикл. [31]
При этом заметим следующее. Сепаратрисы седел могут принадлежать как некомпактной области, так и компактной. В последнем случае необходимо говорить о переходе цикла ( при изменении параметров) из одной ячейки в другую ячейку. [32]
На рис. IV-2 изображены различные варианты картины, которая получается в первой четверти круга Пуанкаре. Сепаратрисы седел проведены жирными линиями. [33]
Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении Я имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Если при дальнейшем увеличении Я сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, в, то из петли рождается предельный цикл. Значение А, А 0 в этом случае является бифуркационным. [34]
Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении К имеют расположение, представленное па рис. 3.5, а. Если при дальнейшем увеличении К сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, в, то из петли рождается предельный цикл. Значение Я Я0 в этом случае является бифуркационным. [35]
Заметим, что четыре интегральные кривые у0 ( х О), х0 ( j / 0) ( полуоси осей координат) являются асимптотами семейства интегральных кривых. Они называются сепаратрисами седла. [36]
Наряду с атим сепаратрисой седла называют также; любую пилоячятолыгую полутрас-кторию, выдел рнную из траектории / J ( - 0 или LC - ( такио полу-траектории иаамлнютсн ш - сепаратрисами), и любую отржцател ] вую полу-траекторию, нидсленпую из траектории L или Ln. Ofliron и той лее траектории ( например, псе fi - сепаргзтрисм, иыдслсгшын ня ArjD), н счтгтают отлтгчнимп друг от друга. [37]
Положение равновесия называется седлом. Существуют четыре особые фазовые траектории, называемые сепаратрисами седла, по двум из которых изображающая точка приближается к положению равновесия, по двум другим - удаляется от него. На рис. 1 - 3 сепаратрисы проведены жирными линиями. [38]
Список типичных бифуркаций потоков на плоскости ( точнее, сфере) завершается еще одной бифуркацией, связанной с бифуркацией седло-узла. У последнего как бы сохраняются три из четырех сепаратрис седла. Две из них делят малую окрестность седло-узла на две половины, в одной из которых траектории ведут себя так же, как возле узла, а в другой - как возле седла. В последней полуокрестности расположена и третья сепаратриса. Может случиться, что эта сепарафиса, описав петлю, попадает в первую полуокрестность и входит в седло-узел. При определенных типичных условиях исчезновение седло-узла сопровождается рождением предельного цикла из этой замкнутой петли. [39]
Далее, поскольку уравнение ( 156) не может быть проинтегрировано в замкнутой форме, то для дальнейших исследований необходимо применять методы численного интегрирования. В связи с этим отметим, что построение четырех сепаратрис седла как интегральных кривых лучше начинать с учетом того, что сама особая точка является как бы точкой, из которой эги интегральные кривые выходят. [40]
Легко видеть, что система (5.95) имеет седло в начале координат при всех значениях параметров; это следует из теоремы о линеаризации. Положительные полуоси хну - траектории системы; они являются сепаратрисами седла. [41]
Уравнение ( VII - 12) представляет собой сложную плоскую кривую, которая может иметь много ветвей, уходящих в бесконечность, замкнутых овалов, точек возврата, совпадающих с некоторыми СР. Ветвями кривой контактов ( VII - 12) могут быть сепаратрисы седел, геометрические места точек перегиба и асимптоты траекторий. [42]
I, находим бифуркационные значения -, - - - - r - l ( f - 1 / 3) / тг. При - - / - t - O ( fi) имеем петлю сепаратрисы седла, охватывающую фа-зовы. [43]
Это позволяет в явной форме найти все бифуркационные множества, за исключением одного - отвечающего петле сепаратрисы седла, не охватывающей фазовый цилиндр. [44]
Концы / не могут принадлежать Ij - ведь один из них лежит в L, а другой является концом It. Наконец, пусть х, соответственно у, - конец /, соответственно fj, лежащий на входящей сепаратрисе седла S, проходящей через л ( О, Ь), так что Рух л ( О, Ь) РЧ у при некоторых п, m 0, пфт. [45]