Cтраница 3
Структура решений истинно нелинейных гиперболических систем значительно проще, и по этой причине внимание исследователей было сосредоточено на таких системах. Однако следует подчеркнуть, что этот класс не включает многих систем, возникающих в приложениях. [31]
Эйнштейна образуют гиперболическую систему в диагональной форме. [32]
Наряду с гиперболическими системами существуют также параболические ( с одним семейством характеристик) и эллиптические ( действительных характеристик нет) системы. [33]
Задача управления гиперболической системой с данными на характеристиках впервые была рассмотрена в 1963 г. А. И. Егоровым, который несколько позже ( см. [32]) обобщил эти результаты на системы более общего вида и применил использованный метод к решению некоторых задач теории инвариантности. [34]
Далее будут рассмотрены гиперболические системы уравнений второго порядка, которые описывают динамику тонких упругих оболочек, включая так называемые системы уравнений типа Тимошенко. На конкретных примерах будет дано описание их основных особенностей и свойств. В частности, эти системы уравнений, записанные в виде гиперболических систем уравнений первого порядка, могут иметь специфические недифференциальные свободные члены, благодаря которым в решении могут существовать нестационарные компоненты, быстро осциллирующие и при этом слабо затухающие по времени. Неучет такого явления может приводить к быстрому развитию неустойчивости в вычислениях. Для решения такого рода систем уравнений разработаны специальные алгоритмы, обеспечивающие устойчивость расчетов в широком диапазоне определяющих параметров. [35]
Затем будут рассмотрены гиперболические системы уравнений второго порядка, которые описывают динамику колебаний тонких упругих оболочек. В частности, будут обсуждены три системы уравнений для цилиндрических изотропных и ортотропной оболочек, а также уравнение Клейна-Гордона. [36]
Предложение 3.1. Любая строго гиперболическая система первого порядка имеет симметризатор. [37]
Геометрические свойства решений гиперболических систем были изучены давно, и соответствующая теория достаточно полна. С другой стороны, аналитическое исследование проблемы встретило серьезные трудности и еще находится в стадии развития. Главный источник этих трудностей связан со следующим специфическим свойством нелинейных гиперболических систем: в общем случае задача с начальными условиями не имеет решения, даже если эти условия достаточно гладкие. [38]
Краевую задачу для гиперболической системы (5.35) формулируют следующим образом. [39]
Рассмотрим несколько примеров гиперболических систем, которые часто встречаются в механических приложениях. Формулы, которые будут здесь представлены, используются ниже для реализации современных численных методов высокого разрешения. [40]
Поскольку обобщенные решения гиперболической системы могут быть разрывными, возникает вопрос о том, являются ли эти решения единственными. Известно ( см., например, Рождественский, Яненко, 1978), что удовлетворение законам сохранения и начальным условиям недостаточно для определения единственного решения. [41]
Обе формы записи гиперболических систем будут далее использоваться независимо, подразумевая, что векторы U, используемые в обеих системах уравнений, вообще говоря, отличны друг от друга. Поэтому матрица из (2.3.15) в общем случае не совпадает с якобиевой. [42]
Так, для гиперболической системы уравнений, описывающей одномерное движение газа, вводятся дополнительные соотношения между искомыми функциями на линиях разрыва. Однако не все указанные Риманом дополнительные условия на линиях разрыва выполняются для реальных физических процессов. [43]
Ниже рассматриваются решения одномерных гиперболических систем дифференциальных уравнений первого порядка при наличии поверхностей, или фронтов, разделяющих области, в которых строятся эти решения. Обсуждается случай, когда рассматриваемые уравнения и их число не предполагаются одинаковыми по обе стороны от фронта. Примерами подобных фронтов могут служить поверхности, разделяющие среды с различными свойствами, например, твердые тела и жидкости, проводящие и непроводящие среды, в том числе фронты плавления или фронты ионизации. [44]
Это приводит к линейной гиперболической системе, которую можно решить, как указано выше. [45]