Cтраница 1
Аксиоматическая система может появляться в дву весьма различных контекстах. Прежде всего, она может быть предназначена для аксиоматизации уже известной теории. Именно так и будет для исчисления высказываний: вводимые нами аксиомы лишь дублируют уже определенную семантику, а понятия тавтологии и теоремы должны совпасть. С другой стороны, множество аксиом может послужить отправной точкой для новой теории. Именно так обстояло дело с теорией групп. Наконец отметим, что существуют промежуточные случаи. Наиболее известный из них касается теории множеств: аксиоматическая система внесла поправку в интуитивную теорию. [1]
Сравнивая аксиоматические системы для PL и PrL, можно заметить, что аксиомы и правило для PL содержатся среди аксиом и правил для PrL. Однако, логика высказываний имеет дело с высказываниями, тогда как логика предикатов рассматривает более сложные объекты - формулы логики предикатов. [2]
Имеется полная аксиоматическая система для Т - зависимостей над произвольными отношениями. Эта система корректна для конечных отношений, но, согласно предыдущей теореме, неполна. Одна из аксиом, называемая пополнением, соответствует утверждению леммы 14.7. Приведем здесь еще одну аксиому, оставляя остальную часть системы и доказательство ее полноты в качестве упр. [3]
Понятие аксиоматической системы очень старо. В этом контексте построенные указанным способом общезначимые выражения называются теоремами. Доказательством ( или выводом) теоремы называется последовательность из аксиом, правил вывода и уже доказанных теорем, позволяющая получить данную теорему. [4]
Адекватность описанной аксиоматической системы устанавливается легко, как и в случае исчисления высказываний. Можно также установить полноту, но доказательство соответствующего факта является значительно более тонким. Можно интуитивно убедиться в полноте системы, выведя в ней правила унификации и резолюций. [5]
Построение аксиоматических систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, которое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математических доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. [6]
В аксиоматических системах, как правило, доказательства являются более трудными и сложными. [7]
Лукасевича; аксиоматические системы строгой импликации К. [8]
Лукасевича; аксиоматические системы строгой импликации К. [9]
При построении аксиоматических систем в области логики и математики необходимо стремиться к тому, чтобы они обладали всеми свойствами, которыми обладает система Лукасевича. Особенно важным свойством является непротиворечивость, поскольку противоречивая система начисто лишена какого бы то ни было познавательного значения: легко показать, что в противоречивой системе доказуемо любое осмысленное утверждение, записанное в терминах данной системы. [10]
Любая модель данной аксиоматической системы имеет группу автоморфизмов, и графы не являются исключением. Было замечено, что при определенных условиях группу графа-композиции можно охарактеризовать с помощью групп составляющих графов. В настоящей главе представлены результаты о существовании графа с заданной группой и данными структурными свойствами. Глава завершается рассмотрением графов, симметричных относительно вершин и ребер. [11]
Так как наша аксиоматическая система содержит правило Modus Ponens, верно утверждение, обратное теореме дедукции. [12]
При формальном построении аксиоматической системы уже не ставится требование выбирать только интуитивно очевидные аксиомы, для которых заранее задана область характеризуемых ими объектов. Аксиомы вводятся формально, как описание некоторой системы отношений: термины, фигурирующие в аксиомах, первоначально определяются только через их отношение друг к другу. Другого, независимого, определения указанные понятия первоначально не имеют. [13]
Классическая механика представляет собой аксиоматическую систему. Понятие аксиоматической системы является общематематическим и состоит в следующем. [14]
С другой стороны, понятие аксиоматической системы исчисления высказываний интересно само по себе. Наряду с классической логикой высказываний были разработаны различные альтернативные теории, оказавшиеся полезными в некоторых контекстах. [15]