Cтраница 4
Вместе с тем подавляющее число математиков, работающих в области теории множеств и ее применений, не пользуются какой-либо из аксиоматических систем, продолжая в этом традиции математиков XIX в. [46]
Такой путь Гильберт видел в финитной формализации математических теорий, т.е. в построении для рассматриваемой исходной неформальной или интуитивной математической теории соответствующей финитной формальной аксиоматической системы, в которой будут выводимы все те и только те утверждения, которые являются теоремами нашей теории. [47]
Однако в тридцать первом году Гедель опубликовал работу, подорвавшую основы Гильбертовой программы Эта работа показала не только наличие неза-полнимых дыр в аксиоматической системе, предложенной Расселом и Уайт-хедом, но и то, что ни одна аксиоматическая система не может породить все истинные высказывания теории чисел, если она не является противоречивой Наконец, Гедель показал, насколько тщетна надежда доказать непротиворечивость системы ОМ если бы такое доказательство было найдено только при помощи методов, используемых в ОМ - и это одно из самых удивительных следствий Геделевской работы - сами ОМ оказались бы противоречивы. [48]