Cтраница 2
Непротиворечивость построенных в настоящее время аксиоматических систем длп теории множеств ( система Цермело - Френкеля ( см. § 13), система Куайна и др.) остается пока под вопросом. [16]
Обозначая обычным образом через ZFC аксиоматическую систему теории множеств Цермело-Френкеля, включающую аксиому выбора, авторы пишут в 1979 г.: Доказательства, проведенные в ZFG, удовлетворяют требованиям строгости современной математики [ 1, с. Так что, по мнению названных авторов ( да и не только их), рассуждения, содержащие обращения к аксиоме выбора, сегодня вполне корректны. [17]
Аксиомы классической механики не образуют замкнутую, полную и независимую аксиоматическую систему, что, безусловно, является недостатком теоретической механики. [18]
Исчисление предикатов, как и всякая аксиоматическая система, содержит символы, из которых составляются формулы. Затем среди всех формул выделяются формулы, называемые выводимыми. Выделение выводимых формул в исчислении предикатов, так же как и в исчислении высказываний, осуществляется путем указания некоторой конечной совокупности формул, которые называются аксиомами, и указанием правил вывода, позволяющих из выводимых формул получать новые выводимые формулы. [19]
Теорема 2.3. Введенная в § 2.1.3 аксиоматическая система полна. [20]
Геделем было показано, что любая достаточно мощная аксиоматическая система ( классическая механика к таким системам относится) не может быть полной, т.е. она допускает истинное недоказуемое высказывание. [21]
Можно предполагать существование и других, более адекватных аксиоматических систем, решающих ту же задачу, но этот вопрос уже выходит за рамки данной работы. [22]
Доказательство следующей теоремы о выводе в аксиоматической системе выходит за рамки этой книги. [23]
Немонотонные логики Мак-Дермотта и Доила являются универсальными аксиоматическими системами, рамки которых аналогичны модальным системам необходимости и возможности, пополненные правилом вывода выполнимых утверждений. В этих логиках имеем формулы вида р, - р и Мр ( р возможна), истинность которых соответствует факту, что р доказуема, опровергаема и возможна. [24]
Эта концепция возникла в результате обобщения концепции аксиоматической системы. Так же, как и аксиоматическая, гипотетико-де-дуктивная система отвечает всем стандартам дедуктивной организации знания. [25]
Точнее, некоторое выражение независимо от - аксиоматической системы, если его нельзя вывести с помощью этой системы. В минимальной системе каждая аксиома независима от остальной системы. Вопрос о независимости постулата о параллельных в аксиоматической системе Евклида неотступно преследовал весь математический мир в течение двух тысяч лет. Наконец, его независимость в прошлом веке была доказана изящно и полностью. Это было сделано путем построения математических моделей, в которых истинны все геометрические аксиомы, за исключением названного постулата. [26]
Средствами математической логики доказывается, что в рамках обычных аксиоматических систем теории множеств нельзя дать однозначный ответ на эти вопросы. Равенство 2N K1 называется континуум-гипотезой и обозначается СН. Гедель показал [10, 9], что равенство 21 не противоречит обычным аксиомам теории множеств. Гипотеза: т ехрт для всех бесконечных кардиналов т - называется обобщенной континуум-гипотезой. [27]
Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с некоторой аксиоматической системой, кто-то другой сообщает вам, какими свойствами он наделил эту систему. [28]
Во второй половине прошлого столетия возникла тенденция к формализации аксиоматических систем. Эта тенденция предполагает абстрагирование от интуитивного содержания теоретических положений. Первоначальные понятия уже не разъясняются независимо от аксиом. При этом они теряют статус непосредственно очевидных предложений. [29]
Такой тип доказательства ( который, исходя из упомянутой аксиоматической системы, приводит к требуемому результату) называется доказательством в смысле Гильберта. Аксиоматическая система, рассматриваемая в этом параграфе, не содержит аксиом, зато использует немало правил вывода. Тип доказательства, связанный с такой системой, называется доказательством в смысле Генцена. [30]