Cтраница 4
Если из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных ( одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок, то получим вторую систему векторов, которую будем называть укороченной для первой системы. Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система для линейно независимой системы векторов сама линейно независима. [46]
Если из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных ( одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок, то получим вторую систему векторов, которую будем называть укороченной для первой системы. Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама, линейно зависима, а любая удлиненная система для линейно независимой системы векторов сама линейно независима. [47]
В силу специфики параметрических систем остановимся на них особо. На основе анализа автоколебательных укороченных систем, шределяюших топологию резонансных зон, рассмотрим задачу о переходе т резонансного случая к нерезонансному при изменении расстройки. На-сонсц, на конкретных примерах продемонсгрируем полученные аналитические результаты и установим связь между классическим параметрическим чезонанеом и нелинейным резонансом. [48]
В этом параграфе содержится алгоритм стабилизации решений круп, номасштабной системы с вязкоупругими элементами. В основу алго ритма положены идеи метода усреднения нелинейной механики в со четанни с методом функций Ляпунова. Эффективное применение данного подхода предполагает решение двух задач: наряду с построением функции Ляпунова для укороченной системы требуется еще построить общее ее решение. [49]
Если в некоторый момент времени t t некоторые множители связей обращаются в нуль, а затем становятся отрицательными, или левые части уравнений каких-либо связей. В момент времени t t оканчивается первый этап движения системы с односторонними связями. После момента t t следует полагать в уравнениях Лагранжа первого рода множители связей, оставленных системой, равными нулю и интегрировать укороченную систему. Начальные условия для этого этапа определяются из найденных ранее интегралов движения. [50]
Целью настоящей работы является дать краткий обзор работ, опубликованных авторами за последние 17 лет и посвященных построению решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности неэлементарной особой точки. Предполагается, что эти решения имеют неэкспоненциальную асимптотику. Основная идея предлагаемой техники тесно связана с первым методом Ляпунова и заключается в следующем: на первом шаге необходимо выделить соответствующее укорочение исходной системы, затем найти частное решение укороченной системы и, наконец, достроить это решение до частного решения полной системы при помощи некоторых рядов. Авторы показывают, как работает данный сценарий для различных классов динамических объектов. [51]
Поэтому любое решение укороченной системы, построенное по методу гл. VI, в первом случае стремится к нулю при / - оо, во втором - ограничено на всей оси t и в третьем - стремится к нулю при t - f - сю. Подводя итоги, получаем, что при a d 0 укороченная, а потому и полная системы (7.18) имеют в начале координат фокус ( устойчивый при a - f - d 0 и неустойчивый при a d0); если же a - - d Q, то укороченная система имеет в начале координат центр, тогда как для полной системы здесь возможны центр, фокус и центро-фокус в зависимости от поведения нелинейных членов. [52]
Если вырождение минимума связано с асимптотиками по большим параметрам, то необходимо перейти к укороченной системе алгебро-дифференциальных уравнений. Нас же интересует конкретный вопрос: можно ли по тому или иному веществу применять принцип квазистационарности. При этом достаточно лишь самых приближенных критериев, получаемых, например в результате линеаризации [33], поскольку правильность нулевого приближения относительно малых параметров е может быть установлена численно сравнением решений полной и укороченной систем при найденных значениях параметров. Если алгебраическая часть укороченной системы разрешима в явном виде относительно концентраций тех веществ, по которым принят принцип квазистационарности, то решение определяется некоторыми соотношениями коэффициентов скорости, получение которых не вызывает затруднений. [53]