Cтраница 3
Пусть М - счетно порожденный модуль над кольцом R. N содержится в некотором конечно порожденном прямом слагаемом модуля N. Показать, что М является прямой суммой конечно порожденных модулей. [31]
Над полем характеристики 0 тензорное представление полной линейной группы вполне приводимо [ см. [2], стр. Ли содержится в нем в виде прямого слагаемого. [32]
Показать, что любой элемент из Р содержится в некотором свободном прямом слагаемом модуля Р; вывести отсюда, что каждый проективный модуль над локальным кольцом является свободным. [33]
Обозначим через р: kR - R проекцию модуля kR на его последнее прямое слагаемое. [34]
В; ( 2) и А - А [ iili для любого натурального п; ( 3) А / пА - прямое слагаемое в BluA для любого натурального / г, ( 4) если С - - Л и А 1C - конечно порожденная группа, то А 1C - прямое слагаемое в В / С; ( 5) каждый смежный класс факторгруппы В / А содержит элемент того же порядка. А-С - В и С / А конечно порождена, то А - прямое слагаемое в С. Если выполнение свойства ( 2) требуется лишь для простых п, то А наз. [35]
Предыдущие рассуждения показывают, что для доказательства теоремы достаточно установить справедливость сделанного вначале предположения. Пусть Р - проективный модуль и Р0Р F-некоторый свободный модуль, содержащий Р в качестве прямого слагаемого. Представим теперь все элементы подмножества А в виде линейных комбинаций базисных элементов модуля F. В этих представлениях лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля, так что А содержится в некотором конечно порожденном прямом слагаемом F0 модуля F. [36]
Прямое слагаемое а единицы г полукольца Н ( g, g) называется подчиненным прямому слагаемому р единицы е, если найдется такое прямое слагаемое у отображения е, что а и у связаны справа, а у и J3 связаны слева. Показывается, что понятие замещения прямого множителя одного разложения некоторым прямым множителем из другого разложения эквивалентно понятию подчиненности прямого слагаемого е в одном разложении некоторому прямому слагаемому другого разложения. [37]
Шаперон рассматривает гладкую и топологическую классификации ростков в неподвижной точке действий коммутативных групп Ли. На эти группы налагаются лишь слабые ограничения: они должны иметь конечное число образующих и содержать хотя бы одно прямое слагаемое, изоморфное Z или R. Поскольку рассматривается только гладкая и топологическая, а не аналитическая классификация, резонапсы в теории Шаперона оказываются существенными, а малые знаменатели нет. Для этого понадобятся два определения. [38]
Если X имеет особые точки, то комплекс де Рама не обязан быть точным. Гипергомологии комплекса F ( Qx) при & С содержат когомологии пространства X с коэффициентами в С в качестве прямого слагаемого и совпадают с ними, если X гладко. [39]
Пусть R - некоторое n - FI-кольцо; тогда любой подмодуль в nR, являющийся аннулятором конечного семейства линейных функционалов, будет в силу теоремы 1.1.1 ( f) прямым слагаемым модуля HR. Так как любой замкнутый подмодуль из nR является пересечением членов некоторой убывающей цепочки прямых слагаемых, то он сам есть прямое слагаемое. [40]
Прямое слагаемое а единицы г полукольца Н ( g, g) называется подчиненным прямому слагаемому р единицы е, если найдется такое прямое слагаемое у отображения е, что а и у связаны справа, а у и J3 связаны слева. Показывается, что понятие замещения прямого множителя одного разложения некоторым прямым множителем из другого разложения эквивалентно понятию подчиненности прямого слагаемого е в одном разложении некоторому прямому слагаемому другого разложения. [41]
Доказательство этого следствия показывает, что любой модуль Р, удовлетворяющий свойству поднятия из предложения Ь, проективен. В самом деле, возьмем в качестве М свободный модуль, для которого существует сюръективный гомоморфизм 6: N - P1); тогда Р изоморфен прямому слагаемому модуля N. Следовательно, свойство поднятия гомоморфизмов из предложения b является характеристическим для проективных модулей и поэтому часто используется в качестве их определения. [42]
Таким образом, определяющим свойством сервантной подгруппы является свойство относительной полноты: деление в подгруппе Н возможно, если оно возможно во всей группе. Полная группа, конечно, является сервантной подгруппой любой абелевой группы, которая ее содержит. Прямое слагаемое груплы также является сервантной подгруппой. Хотя полные группы всегда бесконечны, существуют сервантные подгруппы конечных групп, и поэтому это понятие полезно при изучении конечных групп. [43]
Прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 называются вполне разложимыми группами. Любые два разложения вполне разложимой группы я прямую сумму рациональных групп изоморфны. Прямое слагаемое вполне разложимой группы само вполно разложимо. Однако произвольная подгруппа - не обязательно. Всякая абелева группа без кручения конечного ранга, очевидно, - прямая сумма неразложимых групп. При этом для любого натурального числа k l существует группа конечного ранга, обладающая прямыми разложениями как на 2, так и на k неразложимых слагаемых. Прямые слагаемые прямых сумм групп конечного ранга не обязаны снова быть прямыми суммами групп конечного ранга. Среди абелевых групп, не являющихся группами без кручения, лишь примерные циклические группы и группы типа р не разлагаются в прямую сумму каких-либо подгрупп. Напротив, существуют неразложимые группы без кручения любого ранга, меньшего первого сильно недостижимого кардинального числа. [44]
Периодически полной р-группой называется периодическая часть р-адического пополнения прямой суммы циклических р-групп. Эквивалентны следующие свойства редуцированной р-группы G: ( 1) G периодически полна; ( 2) G изоморфна периодической части некоторой алгебраически компактной группы; ( 3) G инъективна относительно всех сервантных вложений р-групп; ( 4) G выделяется прямым слагаемым из каждой абелевой р-группы, в которой она содержится в качестве сервантной подгруппы. Прямое слагаемое прямой суммы периодически полных р-групп само разлагается в прямую сумму периодически полных р-групп. Любые два прямых разложения прямой суммы периодически полных р-групп обладают изоморфными продолжениями. Для изоморфизма двух прямых сумм периодически полных р-групп необходимо и достаточно, чтобы существовал изоморфи м их цоколей, сохраняющий высоты элементов, взятые во всей группе. [45]