Cтраница 3
Пусть в игре участвует п игроков, каждый из которых показывает один или два пальца. Каждый игрок выигрывает показанное им число, если все остальные игроки показали другое число; он выигрывает нуль во всех остальных случаях. [31]
Это правило явно указывает, что игрок п находится в привилегированном положении. Для того чтобы выиграть, ему нужно только одного союзника, в то время как остальные игроки нуждаются друг в друге без исключения. [32]
Итак, ( 57: В) можно переформулировать следующим образом: роль любого игрока в любой игре п лиц с нулевой суммой, пока это касается стратегических возможностей коалиций и компенсаций, может быть в точности продублирована в такой ситуации, в которой он лишен всякого прямого влияния на ход игры. Слово роль здесь употребляется в самом широком смысле: в нее входят связь игрока со всеми остальными игроками и его влияние на связи остальных игроков друг с другом. [33]
То есть, во-первых, решение игры должно принадлежать к У-реше-ниям [ см. гл. N, с целью собственной выгоды отклоняясь от У-решения ( реализуя угрозу), может быть демпфирована остальными игроками из N, реализующими контругрозу ( т.е. V-решение игры не имеет эффективных угроз - угроз без контругроз), во-вторых, для любой коалиции KI e P решение должно обеспечивать векторную эффективность показателей коалиции. [34]
Как обычно, устойчивость вступает здесь в противоречие с выгодностью и справедливостью. В порядке преодоления этого противоречия игроки могут выбрать ситуацию равновесия с нахалом, обязав нахала выплачивать каждому из остальных игроков компенсацию в размере 1 / 3 ( ср. [35]
Для доказательства приводимой ниже теоремы существования решения по Нэшу удобно ввести следующее обозначение. При такой записи на второе место ставится стратегия собственного игрока ( й-го), а под х подразумевается совокупность стратегий всех остальных игроков, которая иногда называется ситуацией. [36]
Итак, ( 57: В) можно переформулировать следующим образом: роль любого игрока в любой игре п лиц с нулевой суммой, пока это касается стратегических возможностей коалиций и компенсаций, может быть в точности продублирована в такой ситуации, в которой он лишен всякого прямого влияния на ход игры. Слово роль здесь употребляется в самом широком смысле: в нее входят связь игрока со всеми остальными игроками и его влияние на связи остальных игроков друг с другом. [37]
Цена игры рассматривается как возможный платеж в конце игры. Соотношение (23.23) рассматривается как условие индивидуальной целесообразности, так как оно ограничивает цену игры теми векторами, которые дают каждому игроку по меньшей мере столько, сколько он мог бы получить, если бы все остальные игроки объединились против него. Уравнение (23.24), называемое целесообразностью Парето ( или групповой целесообразностью), основано на том положении, что если Ь есть любой вектор с S6j ba v ( N), то вектор а, с ai bi [ v ( N) - Ь0 ] / п был бы предпочтен вектору Ъ каждым игроком множества N и, следовательно, этот вектор Ь не был бы принят в качестве финального исхода. Это положение не полностью относится к описательному пониманию игр, так как оно исключает забастовки и войны, но оно приводит к интересной теории, разработанной фон Нейманом и Моргенштерном. [38]
Однако существует важное различие между этими двумя явлениями. Наши эвристические рассмотрения показывают, что он должен быть исключен из всех коалиций во всех допустимых решениях. Насколько показывает характеристическая функция этой игры, его роль не отличается от роли каждого из остальных игроков. [39]
Наконец, механизм ключевых агентов может быть выделен из класса механизмов Гроувза с помощью единственной аксиомы, основанной на изменении состава участников. Решение а выбирается как чистый общественный продукт, от потребления которого не может быть отстранен ни один агент. Тогда агент имеет возможность отказаться от участия в механизме и бесплатно прокатиться иа решении, принятом остальными игроками. Ясно, что он теряет при этом возможность влиять на выбор решения, но зато избавлен теперь от налога. Второе может перекрыть первое, и нашему агенту может оказаться выгоднее быть зайцем, чем участником. [40]
В случае конечного числа первоначальных стратегий, называемых чистыми, смешанная стратегия задается вероятностями их использования. Для реализации смешанной стратегии обычно рекомендуется использовать соответствующий случайный механизм типа бросания монеты, а затем взять чистую стратегию, на которую укажет реализация случайного механизма. Один из естественных принципов оптимального поведения - принцип Байеса - требует, чтобы поведение игрока было наилучшим для него ответом на действия остальных игроков. Для приведенной выше трактовки только с помощью принципа Байеса ситуация равновесия в смешанных стратегиях не может быть обоснована, так как в ситуации равновесия все чистые стратегии, входящие в смешанную стратегию с положительными вероятностями, и любые вероятностные смеси таких стратегий также будут наилучшими ответами на действия остальных игроков. [41]
С другой стороны, это решение бесконечно. Это значит, что все дележи, где главный игрок получает предписанный выигрыш, принадлежат этому решению. С точки зрения здравого смысла это вполне разумно. Так как главный игрок исключается, остальные игроки могут только единодушно объединяться между собой. [42]
Верхним крайним случаем будет тот, когда все ( п - - элементные множества, а вместе с ними все множества, кроме 7, устранимы. Полезно отдавать себе отчет в том, что скрывается за этим свойством. Стратегическая ситуация в такой игре эквивалентна следующей: только один игрок имеет влияние на течение игры, а роль остальных игроков сводится к попытке повлиять на принимаемые им решения. Способ влияния на него состоит, конечно, в предложении ему компенсаций с целью заставить его принять решение, благоприятное для того игрока или тех игроков, которые делают это предложение. [43]
В случае конечного числа первоначальных стратегий, называемых чистыми, смешанная стратегия задается вероятностями их использования. Для реализации смешанной стратегии обычно рекомендуется использовать соответствующий случайный механизм типа бросания монеты, а затем взять чистую стратегию, на которую укажет реализация случайного механизма. Один из естественных принципов оптимального поведения - принцип Байеса - требует, чтобы поведение игрока было наилучшим для него ответом на действия остальных игроков. Для приведенной выше трактовки только с помощью принципа Байеса ситуация равновесия в смешанных стратегиях не может быть обоснована, так как в ситуации равновесия все чистые стратегии, входящие в смешанную стратегию с положительными вероятностями, и любые вероятностные смеси таких стратегий также будут наилучшими ответами на действия остальных игроков. [44]
Ставки растут, пока игроки не соглашаются проверить последнюю заявку. По ходу игры хороший игрок занят тем, что проигрывает в уме все возможные вероятности. Какова, скажем, статистическая вероятность того, что среди 40 случайных чисел ( пять восьмизначных долларовых номеров) окажутся три шестерки. Для классного игрока математические выкладки - дело десятое. Главное для него - прочесть, что скрывают лица остальных игроков. [45]