Cтраница 2
Обратно, пусть a - идеал кольца А, Мы можем построить фак-торкольцо А / а следующим образом. [16]
Конгруэнции в кольцах описываются через идеалы колец. [17]
Обратно, пусть a - идеал кольца А. [18]
Кольцо R нетерово ФФ каждый идеал кольца R конечно порожден ФФ R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей идеалов Ф каждая непустая система идеалов имеет максимальный элемент относительно включения. Любой гомоморфный образ нетерова кольца - нетерово кольцо [ Л, VI, § 1 ], [ AM, гл. [19]
В этой теории дивизорами являются ненулевые идеалы кольца D, а соответствие а - ( а) относит каждому элементу а е D порожденный им главный идеал. [20]
Если а, 6-два правых идеала кольца R, таких, что а с 6, и s - наименьшее число, для которого as bs, то ( u) r ( b) при t s, но rs ( a) rs ( b), если только число rs ( a) конечно. [21]
Z, если имеется в виду идеал кольца. [22]
Доказать, что если / - идеал кольца R с единицей, то факторкольцо R / I тоже имеет единицу. [23]
В частности, это верно для идеалов кольца R, если его рассматривать как модуль над самим собой. [24]
Если А - поле, то каждый идеал кольца А [ х ] является главным. [25]
Из теоремы 3 следует, что всякий идеал кольца R / ( m) является главным. Однако R / ( m) может содержать делители нуля, и тогда его нельзя назвать кольцом главных идеалов. [26]
Произведение отображений 11г1гз Дает возможность получить все идеалы кольца R / ( tn), а отображение i 43 - по крайней мере один из них. Естественно, возникает вопрос: является ли отображение / 43 отображением на, или, что то же самое, всякий ли идеал в R / ( tn), который может быть записан в виде ( / ( /)), где t m, порождается идемпотентным смежным классом. [27]
Сумма всех минимальных левых [ правых ] идеалов кольца или алгебры R оказывается двусторонним идеалом и называется левым [ правым ] цоколем кольца или алгебры R. Если в кольце нет минимальных правых [ левых ] идеалов, то его правый [ левый ] цоколь считается равным нулю. Однородной компонентой правого [ левого ] цоколя кольца R называется сумма всех минимальных правых [ левых ] идеалов, изоморфных как правый [ левый ] - модуль фиксированному правому [ левому ] идеалу. Цоколь равен прямой сумме своих однородных компонент ( [31], гл. Если кольцо [ алгебра ] не содержит ненулевых односторонних нильпотентных идеалов, то его [ ее ] правый и левый цоколи совпадают. [28]
В частности, идеалом оказывается пересечение всех идеалов кольца [ алгебры ] R, содержащих данное подмножество X s R. Про этот идеал говорят, что он порождается множеством X. Отметим, что этот идеал является наименьшим идеалом, содержащим множество X. Разумеется, всякий идеал является под-кольцом. Однако подкольцо, порожденное множеством X, как правило меньше идеала, порожденного этим множеством. [29]
Сумма всех минимальных левых [ правых ] идеалов кольца или алгебры R оказывается двусторонним идеалом и называется левым [ правым ] цоколем кольца или алгебры R. Если в кольце нет минимальных правых [ левых ] идеалов, то его правый [ левый ] цоколь считается равным нулю. Однородной компонентой правого [ левого ] цоколя кольца R называется сумма всех минимальных правых [ левых ] идеалов, изоморфных как правый [ левый ] - модуль фиксированному правому [ левому ] идеалу. Цоколь равен прямой сумме своих однородных компонент ( [31], гл. Если кольцо [ алгебра ] не содержит ненулевых односторонних нильпотентных идеалов, то его [ ее ] правый и левый цоколи совпадают. [30]