Cтраница 3
Обратное также верно: если ( а) делит ( у), то а делит у. Действительно, ясно, что любой идеал вида ( а) В состоит из всех элементов вида ар, где р е В. [31]
R и ее идеала /, и наследственным, если все идеалы t - радикаль-ного кольца t - радикальны. Если t - наследственный радикал и любой идеал t - полупростой алгебры т-полу-прост, то т оказывается идеально наследственным. В классе ассоциативных ( и даже альтернативных) алгебр наследственность и идеальная наследственность - равносильные свойства. [32]
R и ее идеала /, и наследственным, если все идеалы тс-радикаль-ного кольца т-радикальны. Если т - наследственный радикал и любой идеал t - полупростой алгебры т-полу-прост, то т оказывается идеально наследственным. [33]
Допустимыми разбиениями линейной алгебры R с единицей являются разбиения по некоторому идеалу кольца R. Фактор-кольцо линейной алгебры над полем Р по любому идеалу оказывается линейной алгеброй над тем же самым полем. [34]
Все эти утверждения применимы к произвольному идеалу А кольца D, поскольку, по определению, идеал является, в частности, подгруппой аддитивной группы кольца. Таким образом, во-первых, мы видим, что любой идеал А является решеткой. [35]
Множество идеалов, левых идеалов и правых идеалов полугруппы S замкнуты относительно операций объединения и непустого пересечения. Так как / С ( S) содержится в любом идеале полугруппы S, то это единственный минимальный идеал полугруппы S. [36]
Любая конечная полугруппа обладает минимальным идеалом. С другой стороны, в полугруппе ( N, ) любой идеал имеет вид п N для некоторого я е N, и m Nsn - f - N тогда и только тогда, когда m п; это показывает, что полугруппа ( N, ) не имеет минимального идеала. [37]
Такой идеал называется максимальным. Можно доказать ( используя лемму Цорна из теории множеств), что любой идеал, отличный от А, содержится хотя бы в одном, максимальном. [38]
При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление, или, что то же, справедлива нек-рая теорема существования; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется нек-рая теорема единственности. [39]
Если / - идеал структуры, a D - двойственный идеал, не имеющий с / общих элементов, то в структуре существует такой Содержащий / и не имеющий общих элементов с D идеал В, что любой идеал, больший В, уже имеет с D по крайней мере один общий элемент. [40]
По определению, две функции задают один и тот же росток в точке О, если они совпадают в какой-то окрестности этой точки. Идеал Мп, состоящий из ростков функций, равных нулю в точке О вместе со всеми производными порядка л, главный и равен ( jc 1 1), но идеал М, ростков функций, все производные которых в точке О равны 0 ( вроде функции е - 11), как можно доказать, не порождается никакой конечной системой функций. В этом, топологическом смысле, любой идеал кольца С порождается одной функцией. Те же соображения применимы и к кольцу &, но топология в нем определяется более сложным способом и, например, тот факт, что идеал М не порождается никакой конечной системой функций, несет в себе более реальную информацию. [41]
Для любого хе7 ( 51) неподвижная точка s лежит в Imx. D ( 9t) U 0 содержится в любом идеале из 7 ( 91), отличном от 0, и это показывает, что О ( Щ () 0 есть единственный 0-мини-мальный идеал. [42]
Представление Гельфанда хорошо приспособлено-для изучения полупростых алгебр: один из основных результатов теории К. Об общих алгебрах с радикалом известно гораздо меньше, чем о полупростых. Такая алгебра конечномерна, все нормы в ней эквивалентны и любой идеал замкнут. [43]
Для каждого х е X выберите s ( х) е S, такое, что х е Us ( ж), и функцию fx C ( X), для которой fx ( x) - 1 и fx ( XUs ( x) 0; рассмотрите любой идеал, содержащий все отобранные функции. [44]
Нетерово справа кольцо оказывается полуцепным справа тогда и только тогда, когда все конечно порожденные правые - модули полуцепные. Такие кольца представляются как прямые суммы обобщенно однорядных колец, полусовершенных наследственных первичных колец и колец, эквивалентных в смысле Мориты факторкольцам колец матриц специального вида над цепными кольцами ( Кириченко В. В. / / Ин - т мат. Все конечно порожденные модули над коммутативным кольцом R оказываются полуцепными ( такое кольцо часто называют кольцом Кете) тогда и только тогда, когда оно представляется в виде прямой суммы линейно компактных цепных колец, почти максимальных областей Безу ( кольцом Безу называется коммутативное кольцо, в котором сумма любых двух главных идеалов является главным идеалом, а почти максимальность означает, что факторкольцо по любому идеалу, отличному от всего кольца, линейно компактно) и факельных колец. [45]