Cтраница 4
Нетерово справа кольцо оказывается полуцепным справа тогда и только тогда, когда все конечно порожденные правые / - модули полуцепные. Такие кольца представляются как прямые суммы обобщенно однорядных колец, полусовершенных наследственных первичных колец и колец, эквивалентных в смысле Мориты факторкольцам колец матриц специального вида над цепными кольцами ( Кириченко В. Все конечно порожденные модули над коммутативным кольцом К оказываются полуцепными ( такое кольцо часто называют кольцом Кете) тогда и только тогда, когда оно представляется в виде прямой суммы линейно компактных цепных колец, почти максимальных областей Безу ( кольцом Безу называется коммутативное кольцо, в котором сумма любых двух главных идеалов является главным идеалом, а почти максимальность означает, что факторкольцо по любому идеалу, отличному от всего кольца, линейно компактно) и факельных колец. [46]
Человек не свободен выбирать между тем, чтобы иметь, и тем, чтобы не иметь идеалы; но он свободен выбирать между различными идеалами, между служением власти, разрушению или служением разуму и любви. Различаются люди именно тем, в какие идеалы они верят. Как лучшие, так и самые сатанинские проявления в человеке суть выражение его идеализма, его духа, а не движений плоти. Поэтому релятивизм, согласно которому ценным оказывается любой идеал или любое религиозное чувство, опасен и ошибочен. Мы должны понять идеалы, включая те, которые принадлежат светским идеологиям, как выражение одной и той же человеческой потребности, и должны судить о них по их истинности, способности раскрыть человеческие силы и стать реальным ответом на потребность человека в равновесии и гармонии его мира. [47]
Если fi и f2 принадлежат Kv, то fi f2 и fi - f - будут также лежать в Ку, кроме того, если хотя бы один из элементов f или g лежит в Ку, то fg будет принадлежать Ку. Поэтому Kv является идеалом 2) для К. Идеал Kv определяется алгебраическим многообразием V; обратно, любой идеал К определяет некоторое алгебраическое многообразие. Геометрические свойства алгебраических многообразий в л-мерном пространстве таким образом связываются с алгебраическими свойствами идеалов кольца полиномов п измерений. [48]
Участок этого композиционного ряда от [ до 0 имеет длину т п; число т называется длиной идеала I. В каждом ( непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал I наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал I, собственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие минимальности. [49]