Cтраница 1
Слоение Зейферта в исходном многообразии индуцирует на накрывающем многообразии разбиение на окружности. [1]
Слоение Зейферта - это трехмерное многообразие, которое специальным образом представляется в виде объединения попарно непересекающихся окружностей, называемых слоями. [2]
Слоение Зейферта типа ( /, 1) является уже расслоением на окружности, и притом - прямым произведением. [3]
Снова слоение Зейферта задается отображением S3 - - S2, но на сей раз это отображение hp, q определяется формулой h ( Zj, z2) z yz2, где р и q взаимно просты. [4]
Другие структуры слоения Зейферта сохраняются не всеми правыми умножениями. Однако умножение в группе S3 справа на комплексные числа, по модулю равные единице, образующие окружность S1, которую мы отождествляем с окружностью 22 0 в S3, сохраняет все эти структуры. Таким образом, всякая конечная, а значит, циклическая подгруппа группы S1 свободно действует на S3, сохраняя все структуры слоения Зейферта, и при этом мы получаем фактормногообразия с бесконечным числом неизоморфных структур расслоений Зейферта. [5]
Следствие 3.3. Край слоения Зейферта М несжимаем, если М не гомеоморфно полноторию или сплошной бутылке Клейна. [6]
Осталось доказать, что любое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру. [7]
Иными словами, усреднение вдоль слоения Зейферта типа Qr, q) определяется как обычное усреднение в накрывающем его / - листном расслоении. [8]
Теперь рассмотрим некоторые элементарные свойства слоений Зейферта. Я уже указывал, что все слоеные сплошные бутылки Клейна изоморфны. Ясно, что если слоеное пол-поторие T ( p q) получено из тривиального разрезанием по некоторому кругу и приклеиванием со сдвигом на q / p полного поворота, то все слои в Т, отличные от центрального, представляют взятую р раз образующую группу я Г), и эти слои q раз обматываются вокруг центрального слоя. [9]
Подобные рассуждения применимы и к более общим слоениям Зейферта, включая и некомпактные. [10]
Кроме того, доказывается, что любое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру. Это дает очень естественное и удобное разбиение замкнутых слоений Зейферта на шесть типов, соответствующих шести возможным геометриям. Наконец, в § 6 я кратко обсуждаю, какие успехи достигнуты к настоящему времени в доказательстве гипотезы Терстона о геометризации. [11]
Таким образом, каждая из окружностей слоения Зейферта получается склейкой q отрезков, за исключением одной, центральной окружности, полученной из оси цилиндра. [12]
В § 3 излагаются основы теории слоений Зейферта. Слоения Зейферта можно определять различными способами, но самое полезное - это представлять себе слоение Зейферта как своего рода расслоение над двумерным орбиобразием со слоем окружность, и я везде буду придерживаться этой точки зрения. Такой подход очень геометричен. Еще один новый момент в моем изложении состоит в том, что я рассматриваю слоения Зейферта, в которых слои могут быть неориентированными окружностями. Это определение является более общим, чем исходное определение Зейферта, но имеются веские доводы в пользу того, чтобы считать правильным именно его. Как уже было сказано, компактное трехмерное многообразие представляет собой слоение Зейферта в смысле нового определения тогда и только тогда, когда оно допускает слоение на окружности. Надеюсь, что этот параграф будет интересен к специалистам, и тем, кто изучает слоения Зейферта впервые. Эти более общие слоения Зейферта рассматривались Орликом и Рэймоном [47] и Финтушелом 116 ], но их подход несколько отличен от моего. [13]
Эта операция и называется усреднением в слоении Зейферта. Произвольное векторное поле v при усреднении в слоении Зейферта превращается в Zg-эквивариантное векторное поле на плоскости. [14]
Мы уже видели, что особый слой слоения Зейферта М либо изолирован, либо является слоем в некоторой слоеной сплошной бутылке Клейна К. Во втором случае объединение всех особых слоев в / С образует одностороннее кольцо в / С. Отсюда следует, что объединение всех особых слоев слоения Зейферта М состоит из изолированных слоев, односторонних колец, торов и бутылок Клейна. В частности, все регулярные слои многообразия М свободно гомотопны друг другу, и некоторая степень каждого особого слоя свободно гомотопна некоторому регулярному слою. [15]