Cтраница 3
До сих пор мы не ответили на естественно возникающий вопрос, какие орбиобразия могут быть базой слоений Зейферта. [31]
Как мы уже видели, любое двумерное орбиобразие без угловых отражателей является базой по крайней мере одного слоения Зейферта. Мы видели также, что естественный способ конструирования расслоения Зейферта над орбиобразием X заключается в следующем: нужно рассмотреть некоторое расслоение на окружности над поверхностью, а затем приклеить части, соответствующие связным компонентам особого множества орбиобразия X. [32]
Если вместо правого умножения рассмотреть левое, то окажется, что ни одна из рассмотренных выше структур слоения Зейферта не сохраняется всеми левыми умножениями. Однако умножение слева на комплексные числа, равные по модулю 1, образующие окружность S1 ( вновь задаваемую уравнением 22 0), не только сохраняет все указанные структуры, но и оставляет на месте каждый слой расслоения Хопфа. [33]
И обратно, всякое трехмерное многообразие М, которое можно с конечной кратностью накрыть трехмерным тором, является слоением Зейферта. Теперь воспользуемся тем отмечавшимся после теоремы 4.3 фактом, что / V допускает структуру расслоения над одномерным орбиобра-зием. Значит, N - либо расслоение над окружностью, либо объединение двух скрученных / - расслоений. Отсюда следует, что N является многообразием Хакена. В случае когда N - расслоение над S1 или пересечение двух / - расслоений, в качестве F можно взять просто слой. Знаменитая теорема Вальдхаузена [74], перенесенная Хейлом [20] на неориентируемый случай, показывает, что многообразия М и N гомеоморфны. [34]
Изучение поведения системы вблизи резонансного или близкого к резонансу периодического движения приводит к своеобразному варианту метода усреднения: усреднению в слоении Зейферта. [35]
Внутренность многообразия М нельзя накрыть также многообразием S2XR, поскольку ни S2, ни Р2 не могут быть связными компонентами края слоения Зейферта. Таким образом, всякий регулярный слой в М представляет элемент бесконечного порядка в л ( М), и многообразие М является Р2 - неприводимым. Эта компактная компонента Т должна быть тором или бутылкой Клейна. Отсюда легко следует, что М должно быть полноторием или сплошной бутылкой Клейна, что и требовалось доказать. [36]
Из этой теоремы вытекает, что на любом замкнутом трехмерном многообразии, которое допускает геометрическую структуру по образцу Я2Х К, существует естественная структура слоения Зейферта. Действительно, многообразия из случаев ( п) и ( iii) теоремы не могут быть замкнутыми. [37]
Заметим, что эти утверждения применимы ко всем вообще слоениям Зейферта, а не только к слоениям без края, так как лемму 3.1 можно применять к внутренности слоения Зейферта с краем. [38]
Q, так как если бы значение е ( к) равнялось нулю, то существовало бы конеч-нократное накрытие многообразия М трехмерным тором и этот трехмерный тор также наследовал бы от Nil естественную структуру слоения Зейферта. G изоморфно Z, а образ изоморфен ZXZ. Так как группа G абелева, то это расширение должно расщепляться. Однако расщепляться оно не может, так как коммутатор любых двух элементов группы Nil, проектирующихся в линейно-независимые сдвиги базы Е2, всегда нетривиален. [39]
Наконец, если группа Т изоморфна Z X Z X Z и группа G действует на Е3 свободно, то, как ни удивительно, G по-прежнему оставляет некоторое направление в Е3 неизменным и поэтому многообразие E3 / G допускает естественную структуру слоения Зейферта. Правда, оно несложно, и я дам сейчас его набросок. [40]
В § 3 излагаются основы теории слоений Зейферта. Слоения Зейферта можно определять различными способами, но самое полезное - это представлять себе слоение Зейферта как своего рода расслоение над двумерным орбиобразием со слоем окружность, и я везде буду придерживаться этой точки зрения. Такой подход очень геометричен. Еще один новый момент в моем изложении состоит в том, что я рассматриваю слоения Зейферта, в которых слои могут быть неориентированными окружностями. Это определение является более общим, чем исходное определение Зейферта, но имеются веские доводы в пользу того, чтобы считать правильным именно его. Как уже было сказано, компактное трехмерное многообразие представляет собой слоение Зейферта в смысле нового определения тогда и только тогда, когда оно допускает слоение на окружности. Надеюсь, что этот параграф будет интересен к специалистам, и тем, кто изучает слоения Зейферта впервые. Эти более общие слоения Зейферта рассматривались Орликом и Рэймоном [47] и Финтушелом 116 ], но их подход несколько отличен от моего. [41]
Так как М односвязно, у него нет собственных накрытий. Поэтому базой слоения Зейферта тй служит орбиобразие X, не имеющее собственных накрытий. [42]
Пусть М3 - замкнутое ориентируемое неприводимое нехакеново многообразие с бесконечной фундаментальной группой. Тогда М является слоением Зейферта или допускает гиперболическую структуру. [43]
Напомним, что структура слоения Зейферта на многообразии М есть представление М в виде расслоения на окружности над двумерным орбиобразием. Точно так же можно рассматривать трехмерные многообразия, которые являются расслоениями над одномерным орбиобразием с двумерным слоем. [44]
Заметим, что асимметрия между левым и правым умножениями скорее кажущаяся, чем истинная. Она вызвана нашим выбором слоений Зейферта. Можно очевидным образом поменять роли левого и правого умножений, применив к S3 инверсию кватернионов. Эта инверсия переводит кватернион ( гь z2) в кватернион ( z, - 22), а изометрия ( z, zi) - ( z, - z2) сферы S3 переводит слои Хопфа 21 / 22 А. [45]