Cтраница 2
Оправданием термина слой служит то обстоятельство, что слоение Зейферта можно рассматривать как своего рода расслоение, в котором слоями служат окружности нашего слоения. Чтобы определить базу X этого расслоения, мы просто положим X равным факторпространству многообразия М, полученному склеиванием каждой окружности в точку. Ясно, что если М - тривиально расслоенное полноторие, то X будет двумерным диском, а проекция М - Х будет расслаивающим отображением в обычном смысле. [16]
Предположим, что в пространстве Ж х S слоения Зейферта дано векторное поле. Тогда в накрывающем расслоении также определяется векторное поле. [17]
Из сказанного выше следует, что факторпространство X слоения Зейферта М, полученное склеиванием каждого слоя в точку, является ( в топологическим смысле) поверхностью и имеет естественную структуру орбиобразия, в котором конические точки соответствуют сохраняющим ориентацию особым слоям, а точки на отражающих кривых - обращающим ориентацию особым слоям. [18]
Теперь мы можем несколько подробнее описать фундаментальную группу слоения Зейферта, используя обсуждавшиеся выше инварианты. Поскольку в общем случае получающиеся для группы Л [ ( М) соотношения выглядят не слишком привлекательно, я просто проиллюстрирую происходящее несколькими примерами. [19]
X R, SLaR или Nil, является слоением Зейферта. Если М допускает геометрическую структуру по образцу Sol, то М обладает структурой расслоения над одномерным орбиобра-зием. [20]
В заключение этого параграфа я хочу кратко обсудить классификацию слоений Зейферта относительно гомеоморфизмов. [21]
Заметим, что эти утверждения применимы ко всем вообще слоениям Зейферта, а не только к слоениям без края, так как лемму 3.1 можно применять к внутренности слоения Зейферта с краем. [22]
Поэтому М, а значит, и М являются слоениями Зейферта. В частности, группа ni ( M) содержит бесконечную циклическую нормальную подгруппу. Итак, мы показали, что если многообразие М обладает геометрической структурой по образцу 53, 52X R, Н3 или Sol, то утверждение теоремы выполняется. Чтобы завершить доказательство, предположим, что М допускает одновременно две из геометрических структур по образцу Е3, Я2 X R, SLgR, Nil, и придем к противоречию. Из этого предположения вытекает, что М допускает две неизоморфные структуры расслоения Зейферта. [23]
Nil тогда и только тогда, когда М является слоением Зейферта. [24]
Следуя тем же путем, можно усмотреть, что для слоения Зейферта М фундаментальная группа ni ( M) устроена довольно специальным образом. Действительно, группа п ( М) действует на накрытии М, сохраняя естественное слоение, поэтому определено индуцированное действие группы п ( М) на X. Это действие определяет естественный изоморфизм п ( М) - - - - п ( Х), где через п ( Х) обозначена орбиобразная фундаментальная группа орбиобразия X. Ядро К этого отображения состоит из накрывающих сдвигов многообразия М, которые при проектировании переходят в тождественные отображения базы X. [25]
Компактное ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие М с бесконечной фундаментальной группой является слоением Зейферта тогда и только тогда, когда группа п ( М) содержит бесконечную циклическую нормальную подгруппу. [26]
Гипотеза 8.7. Всякое замкнутое ориентируемое неприводимое нехакеново - многообразие либо является слоением Зейферта, либо допускает гиперболическую структуру. [27]
В § 3 мы видели, что представить сферу S3 в виде слоения Зейферта можно бесконечно многими способами. На самом деле все эти слоения появляются самым естественным образом. Наиболее хорошо известное слоение Зейферта сферы S3 оказывается расслоением в обычном смысле. Это - расслоение Хопфа, которое расслаивает S3 над S2 со слоем окружность. [28]
Как показывает следующий результат, верно, однако, и то, что слоения Зейферта из некоторого широкого класса гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные структуры расслоений Зейферта. [29]
На всяком замкнутом трехмерном многообразии М с геометрической структурой по образцу Nil имеется естественная структура слоения Зейферта. Поле ортогональных к слоям этого слоения плоскостей на М неинтегрируемо, поэтому на М нельзя ввести структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием со слоями, ортогональными слоям расслоения Зейферта. [30]