Cтраница 1
Правые идеалы рассматриваются аналогично. [1]
Кольцом свободных правых идеалов, или, для краткости, правым Fl-кольцом, называется кольцо, в котором все правые идеалы, рассматриваемые как правые / - модули, являются свободными модулями единственного ранга. В силу следствия 1 теоремы 1.1 все такие кольца являются полy - FI-кольцами и поэтому обладают свойством ИБЧ. [2]
Правым идеалом является всякое множество, содержащее 0 и такое, что вместе с а /, оно содержит и всякий элемент Ъщ. Регулярная полугруппа, в которой регулярно сопряжены всякие два элемента. [3]
Чтобы правый идеал давал неприводимое представление, необходимо и достаточно, чтобы он был простым. [4]
Каждый правый идеал II вполне приводимого справа кольца R порождается идемпотен-том. Этот идемпотент может быть выбран в центре кольца R ( такой идемпотент называется центральным) тогда и только тогда, когда Н - двусторонний идеал. [5]
Каждый ненулевой правый идеал Н алгебры R содержит минимальный идемпотент. [6]
Каждый ненулевой правый идеал кольца R содержит минимальный правый идеал. [7]
Для правых идеалов доказательство аналогично. [8]
Если относительно правого идеала В только известно, что он содержит правый подидеал, то это будет означать, что можно найти такую линейную подстановку 5, что всякая матрица S - 1AS нашего представления будет полуприведенной. [9]
Сумма правых идеалов кольца R с единицей, порожденных попарно ортогональными идемпотентами, прямая. [10]
Левый или правый идеал, элементы которого звездно регулярны, называется звездно регулярным. Согласно доказанному выше, левый идеал является звездно регулярным, если все его элементы звездно регулярны слева. Точно так же правый идеал звездно регулярен, если все его элементы звездно регулярны справа. [11]
Хотя каждый правый идеал а фильтрованного fe - кольца R обладает слабым и-базисом, этот базис не обязан быть - независимым множеством. Однако если в а существует - независимое множество В порождающих, то оно должно быть слабым и-бази-сом. Действительно, представим любой элемент а. Из - независимости элементов bi мы получаем, что v ( a) max v ( bt) v fa) и поэтому соотношение v ( a - 2 А) - показывает что элемент а - зависим справа от В. Следовательно, любой элемент идеала а - зависим справа от S, и в то же время ни один из элементов этого множества не является - зависимым от остальных элементов. [12]
Левый или правый идеал называется нильидеалом, если все его элементы нилытотентны. Из теоремы 4 непосредственно следует, что каждый нильидеал звездно регулярен. [13]
Аналогично определяется правый идеал, и Т - идеал ( двусторонний) в 5, если Т - одновременно левый и правый идеал. По идеалу Т определим разбиение р полугруппы S: один из классов этого разбиения есть Т, а все остальные классы одноэлементны. Тогда р есть конгруэнция - конгруэнция Риса по идеалу Г, и в факторполу-группе 5 / р S / T элемент Т является ее нулем. [14]
Часто такой правый идеал называется собственным. [15]