Cтраница 3
В - его правые идеалы, то их произведение А В уже не обязано быть правым идеалом, даже если А - двусторонний идеал в Л; но произведение двусторонних идеалов А. [31]
Если Я - правый идеал, порожденный множеством Y, то Ann / У Ann / Я. [32]
Пусть а - правый идеал, порожденный не более чем п элементами. Если мы теперь выберем в а произвольную систему из т порождающих, то образы этих элементов при указанном эндоморфизме снова будут порождать а; однако эти образы линейно зависимы, поскольку рассматриваемое отображение имеет ненулевое ядро. [33]
Порожденный идеалом ( правый идеал ( I, to) в соответствии с этим является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно, этот идеал является двусторонним и нильпотентным. [34]
В частности, правый идеал кольца R минимален, если он отличен от нуля и не содержит ненулевых правых идеалов кольца R, отличных от него самого. Модуль, являющийся своим минимальным подмодулем, называется неприводимым. Другими словами, неприводимым называется модуль, отличный от нуля и не содержащий никаких подмодулей, кроме себя самого и нулевого. Поле ( и даже тело) является неприводимым модулем над самим собой. Менее тривиальный пример доставляет следующая теорема. [35]
ТЕОРЕМА 2.7. Область главных правых идеалов имеет дистрибутивную решетку делителей тогда и только тогда, когда любой ее ненулевой элемент инвариантен справа. [36]
Структура Д воех правых идеалов полугруппы V ( Ч /) ( ( изоморфна структуре & воех эндооиотем на алгебре У. [37]
Эти аннуляторы оказываются левым и правым идеалом соответственно. [38]
Эта проекция является правым идеалом кольца R и потому свободна. [39]
Кольцо R, все правые идеалы которого суть свободные правые - модули с инвариантным базисным числом, называется кольцом свободных правых идеалов или правым Fl-кольцом. Коммутативными FI-коль-цами являются кольца главных идеалов и только они. [40]
По лемме 2, правый идеал / квазирегулярен. [41]
Кольцо R, все правые идеалы которого суть свободные правые - модули с инвариантным базисным числом, называется кольцом свободных правых идеалов или правым Fl-кольцом. Коммутативными FI-коль-цами являются кольца главных идеалов и только они. [42]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если все правые идеалы некоторого кольца свободны, то все подмодули любого свободного правого R-модуля также свободны. [43]
Найти все несократимые представления правого идеала ( 2 - 1) R кольца комплексно-косых многочленов. [44]
Понятно, что область главных правых идеалов является правой областью Безу и удовлетворяет правому условию АССГ Обратно, пусть R - правая область Безу, удовлетворяющая правому условию ACQ, и а - произвольный, правый идеал кольца R выберем некоторый максимальный главный правый идеал cR, содержащийся в а. [45]