Cтраница 2
Будем называть правый идеал, не содержащий отличных от него правых идеалов, простым правым идеалом. [16]
Левый или правый идеал, элементы которого звездно регулярны, называется звездно регулярным. Согласно доказанному выше, левый идеал является звездно регулярным, если все его элементы звездно регулярны слева. Точно так же правый идеал звездно регулярен, если все его элементы звездно регулярны справа. [17]
Левый или правый идеал называется нильидеалом, если все его элементы нильпотентны. Из теоремы 4 непосредственно следует, что каждый нильидеал звездно регулярен. [18]
R существует правый идеал Н кольца R такой, что ( а b) R aH bH; ( 8) если /: М - М - гомоморфизм и А, В - подмодули модуля М, то f ( A ( ] B) / И) П / (); ( 9) любые два различных минимальных подмодуля любого фактормодуля модуля М не изоморфны. Если R инвариантно справа, то к этому списку можно добавить: ( 10) R ( А: В) ( В: А) для любых конечно порожденных подмодулей А и В модуля М ( здесь А: В г г ЕЕ R, Аг: В; ( 11) А В ( В: А) для любого конечно порожденного подмодуля В и любого подмодуля А модуля В; ( 12) ( ( А В): С) ( А: С) ( В: С), где А, В, С - подмодули модуля М, причем А и В конечно порождены; ( 13) ( А: ( В П С)) ( А: В) ( А: С), где А, В, С - под модули модуля М, причем В и С конечно порождены. [19]
R взять правый идеал старших членов его элементов, то будет справедлива лемма 2.6. Однако если В - слабый у-базис правого идеала а кольца R, то теперь уже неверно, что а порождается множеством В, можно утверждать только, что В порождает всюду плотный в а правый идеал. [20]
При определении правого идеала мы требуем, чтобы аЛ а, а двусторонним идеалом называем подмножество, которое одновременно является левым и правым идеалом. Двусторонние идеалы в этом параграфе будут называться просто идеалами. [21]
Найти область главных правых идеалов с левым условием Оре ( являющуюся, следовательно, левой областью Безу), которая не атомна. [22]
R является главным правым идеалом, порожденным идемгютентом. [23]
Проверить, что правый идеал xR [ yR не является главным; вывести отсюда, что строго циклический модуль R / xR обладает циклическим представлением с не менее чем двумя определяющими соотношениями. [24]
Если Я - правый идеал, порожденный множеством Y, то АппгУ Апп / Я. [25]
Если N - правый идеал в А, то A / N - циклический правый Л - модуль. [26]
Если Н - правый идеал в К, то, как нетрудно понять, при любых / г. Н и и. [27]
Таким образом, правый идеал xt ( R) удовлетворяет условиям леммы 2 и, следовательно, квазирегулярен. [28]
Порожденный идеалом ( правый идеал ( (, ( Р) в соответствии с этим является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно, этот идеал является двусторонним и нильпотентным. [29]
Любой левый или правый идеал в этом кольце вновь главный, и все основные теоремы теории факторизации LODO выполнены. [30]