Математическая идея

Cтраница 4

Диаграмма Венна функции /. А - В.| График функции у f ( x. [46]

Когда мы работаем с функцией /: А - В, где Am В - бесконечные множества, мы не можем нарисовать граф этого отношения. Следует обратиться к традиционной математической идее графического представления функции, а именно, ее графику. [47]

Опасность дедуктивно-аксиоматического подхода к математике ясно понимали многие мыслители и до Колмогорова, Первый по времени американский математик Дж. Сильвестр писал, что математическим идеям ни в коем случае нельзя окаменевать, так как они теряют силу и применения при попытке аксиоматизировать нужные свойства. Он говорил, что идеи должны восприниматься как вода в реке: мы никогда не входим в точности в ту же самую воду, хотя брод тот же самый. Так и идея может породить много разных и неэквивалентных друг другу аксиоматик, каждая из которых отражает идею не целиком. [48]

Некоторые из них сами порождают математические идеи. Пожалуй, чаще всего в прикладных задачах используются фундаментальные понятия математики - понятия максимума и минимума. [49]

Развитие аппарата современной математики вызывается практическими соображениями, связанными с распространением математических моделей и методов в самых различных сферах науки. Объекты, к которым сейчас применяются математические идеи, намного сложнее привычных объектов, традиционно изучавшихся математическими методами. Большая сложность новых объектов делает невозможным и нереальным решение задачи полной формализации протекающих в них процессов. Даже вероятностные модели оказываются слишком точными для подобных объектов и не могут быть построены из-за отсутствия нео бходимой статистической информации. Центральным звеном управления в этих новых объектах, как правило, является человек, характеризующийся всей гаммой потребностей, мотивов и целей, недоступных для полного анализа даже ему самому. Принятие решений в этих условиях происходит в многообъектной, многофункциональной системе, содержащей неопределенности, неизбежно связанные с человеком, его психикой, поведением. Но опыт кибернетики свидетельствует о том, что достигнуть этого довольно трудно. [50]

Такой подход позволяет разрешить парадокс, имеющий место при традиционной ориентации управления только на методы, имеющиеся в библиотеке. Каждый из этих методов является вместилищем сложнейших математических идеи и тонких приемов, па разработку которых и программную доводку тратятся годы квалифицированного труда. Вместе с тем именно сила этих методов, основанная на тщательном учете каких-либо специфических свойств задачи, является предпосылкой их слабости. Дело в том, что для действительно эффективного использования методов нужна оценка параметров текущей ситуации. [51]

Самым близким по духу к группе Улипо из американских писателей ( хотя я не знаю, в какой мере творчество участников группы оказало непосредственное влияние на него), несомненно, следует считать Джона Барта, а вплотную за ним идут Томас Пинчон, Роберт Кувер и Дональд Бартелм. Письма Барта изобилуют игрой слов и математическими идеями, но сколько-нибудь подробный обзор этого сложного произведения увел бы нас далеко в сторону. [52]

Лаплас не оставлял без внимания ни одну математическую идею, которая могла бы способствовать познанию природы. Лаплас всю свою жизнь посвятил астрономии, и какой бы областью математики он ни занимался, свою конечную цель всегда видел в том, чтобы применить математические методы в астрономии. Известно, что в своих работах Лаплас нередко опускал трудные математические детали, ограничиваясь замечанием: Нетрудно видеть, что... Истинная подоплека этого состоит в том, что ему было просто некогда останавливаться на деталях математических доказательств - так он спешил перейти к приложениям. Лаплас внес фундаментальный вклад в развитие математики, но многие его достижения были не более чем побочным продуктом его тита-цической деятельности на поприще естествознания, и впоследствии их подхватили и развили другие, исследователи. [53]

Наоборот, предпочтение отдается нефинитным методам, использующим наиболее глубокие математические идеи. Это позволяет очень отчетливо выявить математическую структуру метаматематики. Благодаря этому оказываются также возможными значительная прост та и ясность в доказательствах основных метаматематических теорем и распознавание математического содержания этих теорем. [54]

Страницы: 1 2 3 4