Cтраница 2
Учение о проективном соответствии рядов и пучков было построено в предшествующих главах на основе штейнеровского определения проективности. Именно проективным мы называли такое взаимно однозначное соответствие двух форм первой ступени, в котором сложное отношение четырех элементов одной формы всегда равнялось сложному отношению четырех соответственных элементов второй. [16]
Покажем, что проективное соответствие двух прямолинейных рядов может быть задано тремя парами произвольно выбранных соответственных точек: А, А; В, В и С, С ( черт. [17]
Изучение двойных точек проективного соответствия необходимо потому, что на знании их свойств основаны доказательства других теорем. Двойными точками называются совпавшие точки в проективном соответствии на одной и той же прямой. Возможность существования двойных точек очевидна, так как легко представить, что при движении точек в одном направлении одна может обогнать другую и в момент обгона совпадет с ней. Также при движении точек навстречу ДРУГ ДРУГУ они встретятся. Но совеем не очевидно, что в проективном соответствии больше двух двойных точек на прямой быть не может. Это будет составлять содержание основной теоремы в следующем пункте, но для ее доказательства нужны подготовительные теоремы. [18]
Переходим к рассмотрению проективного соответствия в координатах. Предположим, что на прямой ОХ установлено проективное соответствие между точками М ( х) и М ( х) двух рядов ( черт. [19]
Из теоремы о проективном соответствии ( см. § 21) следует, что для преобразования фотоснимков плоской местности достаточно иметь четыре пары соответствен ных точек, из которых никакие три не лежат над одной прямой. На рис. 99 соответственные точки обозначены штрихами. В пересечении диагоналей получилась пятая точка Е, которая является третьей точкой на каждой диагонали. [20]
Таким образом, рассматриваемое проективное соответствие рядов s и s обладает тем свойством, что каждая пара соответственных элементов этих рядов не зависит от того, какую из точек этой пары мы относим к первому, а какую - ко второму ряду. Такое проективное соответствие двух форм первой ступени с общим носителем называется инволюцией. [21]
Это и доказывает упорядоченность проективного соответствия. [22]
Пространственный подход к изучению проективного соответствия в плоскости будет развит в четвертой главе для установления связи координат пространственных точек и координат их плоских изображений. [23]
Двойными прямыми в этом проективном соответствии будут, очевидно, те прямые пучка второго порядка, которые проходят через центр перспективности X. В самом деле, такие прямые соединяют пары соответственных точек определяющих рядов ( а, а), поэтому они сами себе соответствуют. [24]
Чтобы установить понятие о проективном соответствии рядов и пучков второго порядка, поступим следующим образом. [25]
Так как возможно лишь одно проективное соответствие, в котором три пары точек А, А; В, В пХ Х являются соответственными, то отсюда заключаем, что данные проективные ряды являются перспективными с центром перспективности в точке S. Таким образом, доказывается и достаточность формулированного выше условия. Совершенно аналогичным образом можно провести доказательство условия перспективности двух проективных пучков S и 5 ( черт. При этом общая прямая х этих пучков сама себе соответствует, а ось перспективности определяется при помощи двух пар соответственных прямых ( а, а и b, b) данных пучков. [26]
Надо показать, что это проективное соответствие является инволюцией. [27]
Но она справедлива и для проективного соответствия на прямой как частного случая. [28]
Поставим вопрос о двойных точках проективного соответствия на кривой второго порядка. [29]
Второй пример относится к некоторому проективному соответствию с не равным нулю определителем, которое включает в себя центральную перспективу как предельный случай и называется рельефной перспективой. Требуется изготовить такое рельефное изображение некоторого предмета, чтобы оно посылало глазу зрителя, помещенному в определенной точке, такие же лучи, какие оригинал посылал бы наблюдателю, помещенному в соответствующее место. [30]