Cтраница 2
Математическая индукция; переместительный и сочетательный законы алгебраических действий; линейные комбинации; соотношение эквивалентности и разбиение на классы. [16]
Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности - новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения ( а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять ( или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине и действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы скользящих векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил. [17]
Для представления обобщенных функций требуется, конечно, определение, отличное от данного для соотношения эквивалентности. [18]
Это уравнение может быть преобразовано для случая эквивалентного течения в изотропной пористой среде путем использования соотношения эквивалентности между геометрическими значениями и направленной проницаемостью. [19]
Подобно тому как мы ввели понятие эквивалентности в виде соотношения между двумя представлениями, вводится и соотношение эквивалентности между элементами одной группы. [20]
Простейшим видом измерений ( нижней ступенью) является такой, когда на множество объектов накладывается только соотношение эквивалентности. Из множества нематематических объектов, объединенных по какому-либо признаку, выбирается некоторая его часть, называемая стандартным множеством. При измерениях этого типа, так называемых номинальных, производится сравнение объектов с элементами стандартного множества. [21]
Применяя это определение к векторным полям градиента Vp ( r, X), X R, получаем соотношение эквивалентности, действующее в ядерном конфигурационном пространстве R, согласно которому две ядерные конфигурации X, X е R - эквивалентны, если и только если их соответствующие векторные поля градиента Vp ( / -, X), Vp ( r, X) эквивалентны. Далее, мы говорим, что ядерная конфигурация X е RQ структурно-устойчива, если X является внутренней точкой ее класса эквивалентности. [22]
Экстенсиональное образование понятий всегда сводится к одной - и той же схеме: из класса Q с прмощью соотношения эквивалентности v получается класс Q / v классов эквивалентности; структуру, возможно существующую в Q ( определяемую отношением или операцией), переносят на Q / VD, если эта структура согласована с отношением эквивалентности. Этот принцип вообще служит основой образования новых понятий не только в математике. С помощью соотношений такого же веса, такой же длины, такого же цвета можно распределить объекты в классы по весу, по длине, по цвету ( скажем, 3 кг, 5 м, бледно-розовый); к ним можно применить соотношения порядка ( больше, меньше) или сложение. [23]
Дальнейшим шагом по сравнению с номинальной шкалой является ординальная шкала ( шкала порядка), которая основывается на установлении определенного эмпирического порядка в пределах множества нематематических объектов путем наложения соотношений эквивалентности и неравенства. Объекты, которые можно таким образом упорядочить, называются величинами. [24]
Из рассмотренного выше очевидно, что мера сложности структуры зависит как от способа, согласно которому множество А было получено из структуры, так и от используемого для разбиения соотношения эквивалентности. Для данной химической структуры классы эквивалентности, полученные при разбиении множества вершин графов со стертыми атомами водорода, будут отличаться от непересекающихся подмножеств, полученных из множества вершин целого ( без удаления атомов водорода) молекулярного графа. Кайер [32] рассчитал информационное содержание целого молекулярного графа, в котором множество его вершин было разбито на классы эквивалентности на основе операций симметрии и экспериментальных данных спектроскопии ЯМР. [25]
Если даны любые два элемента а и & множества S, то можно определить, справедливы ли соотношения а - Ъ или & - а и, кроме того, обладает ли соотношение эквивалентности свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. [26]
Если исследователь имеет дело с открытой материальной системой, информация о предыстории возникновения которой утрачена, остается справедливым утверждение о том, что число независимых переменных состава, необходимых для удовлетворительного описания системы, задано числом разных химических ингредиентов, формировавших ее состояния ( точки), числом независимых соотношений эквивалентности между этими ингредиентами в отношении рассматриваемого множества состояний и числом дополнительных ограничений, обусловленных процедурой отбора представителей множества и ( или) механизмом его формирования. В данном случае, однако; вопрос о числе независимых переменных состава не может быть решен с помощью уравнения ( 26) и должен решаться путем математического анализа результатов тщательного химического анализа каждого из представителей рассматриваемого множества состояний. Здесь возникает сложная проблема - отличить действие искомых независимых переменных от действия ошибок эксперимента. Кроме того, возникают варианты выбора представителей для независимых переменных, так как химический анализ может быть осуществлен путем разложения системы по различным совокупностям составляющих ее веществ. [27]
В самом деле, так как силы, входящие в уравнения ( 5) и ( 6), приложены к одной и той же точке и потому результирующий момент их относительно общей точки приложения равен нулю, то каждое из этих уравнений можно истолковать не только как соотношение эквиполлентности, но и как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов ( гл. [28]
Для того чтобы проверить это, достаточно заметить, что и в этом случае каждое из уравнений ( 42), ( 43), поскольку оно выражает обращение в нуль результирующей трех ( или двух) сил, действующих на один и тот же материальный элемент, который можно рассматривать как точку, можно истолковать как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов. [29]
Если известны все эквивалентные точки, то, согласно правилу 3, необходима лишь одна попытка для получения нумерации. Если соотношение эквивалентности неизвестно, то должны быть проверены все вершины; установлено, что удобнее всего это осуществить таким образом, как описано в следующем разделе. [30]