Cтраница 3
Скачки спектральной функции ( 73) приходятся на полюсы / По, ( /), положение которых, таким образом, определяет точечный спектр. [31]
Интерес к проблеме метрического изоморфизма возник после работ Неймана [23] и Неймана и Халмоша [21], где было показано, что в классе эргоди-ческих динамических систем с чисто точечным спектром полная система метрических инвариантов исчерпывается спектром. Гельфанд заметил, что результат фон Неймана может быть получен как простое следствие тривиальности второй группы когомологий спектра, который всегда является счетной абе-левой группой, с коэффициентами в S1, Казалось, что для систем с непрерывным спектром надо понять, в каком смысле спектр образует группу, ввести для нее группы когомологий с коэффициентами в группе унитарных операторов, после чего проблема изоморфизма сведется к вычислению соответствующей второй группы когомологий. [32]
Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала ( а, Ь), в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма - Лиувилля, при р ( х) 0, г ( х) 0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений ( точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р ( х) ( см. стр. В случае 1 - й, 2 - й и 3 - й краевых задач собственные значения - простые. [33]
Другое приложение, которое оказывается ценным при рассмотрении уравнения Кортевега - де Ври-за - это доказательство того, что любой потенциал можно представить в виде суммы безотражательного прозрачного потенциала, рассмотренного в работе [8], не зависящего от коэффициента отражения, и остатка, который мы будем называть частью потенциала, отвечающей непрерывному спектру, хотя он неявно зависит также от точечного спектра. [34]
Определение 3.2.1. Пусть Т - замкнутый линейный оператор, отображающий пространство Н в себя Комплексное число Я, называется собственным значением оператора Т, если существует элемент х из Н такой, что Тх Хж; при этом элемент ( предполагается, что его норма равна I) называется собственным вектором, соответствующим X, Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр. [35]
Показать, что оператор Т не имеет собственных значений. Точечный спектр этого оператора пуст, хотя весь его спектр содержит только одну точку. [36]
Такой вектор называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению К. Множество собственных значений называется точечным спектром. [37]
Точечный спектр Xj полностью определяется потенциалом и, входящим в оператор L. MI могут иметь один и тот же точечный спектр. [38]
Наивысшим достижением Гильберта в области интегральных уравнений, по-видимому, следует считать предложенное им обобщение теории спектрального разложения - переход от вполне непрерывных к так называемым ограниченным квадратичным формам. Гильберт обнаружил, что в общем случае точечный спектр обладает точками сгущения и кроме точечного спектра появляется непрерывный спектр, И в этом случае он получает результат прямым переходом к пределу, устремляя ad infinitum число переменных xi, х2, И снова другие математики вскоре находят более простые доказательства полученных им результатов. [39]
Фп содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность. Из этого факта и спектральной теоремы 1) следует, что SK имеет дискретный точечный спектр с единственной предельной точкой в начале. [40]
В общем бесконечномерном случав спектр может состоять из точечного спектра и непрерывного спектра. Для конечномерного евклидова пространства непрерывный спектр А отсутствует и понятие спектра совпадает с понятием точечного спектра. [41]
Наивысшим достижением Гильберта в области интегральных уравнений, по-видимому, следует считать предложенное им обобщение теории спектрального разложения - переход от вполне непрерывных к так называемым ограниченным квадратичным формам. Гильберт обнаружил, что в общем случае точечный спектр обладает точками сгущения и кроме точечного спектра появляется непрерывный спектр, И в этом случае он получает результат прямым переходом к пределу, устремляя ad infinitum число переменных xi, х2, И снова другие математики вскоре находят более простые доказательства полученных им результатов. [42]
Мартинелли и Скоппола [239] подметили, что в действительности оценок Фрелиха и Спенсера [119] достаточно для того, чтобы доказать отсутствие абсолютно непрерывного спектра при Е - - оо или при большой степени неупорядоченности. Фрелих, Мартинелли, Скоппола и Спенсер [118] доказали при тех же условиях, что Яш имеет лишь чисто точечный спектр. Гольдшейд [137] сообщил, что им получен близкий результат. [43]
Между тем существует класс линейных задач, для которых условия устойчивости не выполняются, но утверждения типа критерия точечного спектра имеют место. [44]
Например, в случае когда У ( 0) 0 с вероятностью р и V ( Q) 1 с вероятностью 1 - р, доказательство неприменимо. Но в недавней работе Кармоны, Кляйна и Мартинелли показано, что и в этом случае также имеется лишь точечный спектр. [45]