Cтраница 4
В ряде интерактивных графических систем используются функции аппроксимации экспериментальных кривых. Например, в системе Curve Fitter фирмы Interactive Microwave, пользователю предлагаются различные варианты обработки экспериментальных данных: сглаживание, линейная, сплайн-интерполяция, подбор наилучшего полинома заданной степени и приближение по методу наименьших квадратов. Здесь интерактивность работы начинает играть решающую роль: можно быстро прогнать несколько вариантов приближения экспериментальной кривой и выбрать из них наилучший. Например, на рис. 2.14 показан результат аппроксимации спектра излучения методом сплайн-интерполяции. [46]
В связи с тем, чтс функция х X ( Р) является однозначной, нахождение функции р р ( х), обратной к данной, не вызывает затруднений. Однако в выражение (6.16) помимо функции р p ( j) входит и ее производная, которая не может быть вычислена без дополнительных действий, так как функция р р ( х) определена на неравномерной по переменной х сетке. В связи с тем что подробное рассмотрение теории сплайн-интерполяции выходит за рамки нашей книги, мы ограничиваемся только описанием примера, демонстрирующего использование одномерных сплайнов. [47]
U KL Это явление графически показано на рис. 4.1. Отметим, что глобальная полиномиальная интерполяция дает в примере Рунге очень хорошее согласие в центральной части интервала. Например, можно провести полином 10 - й степени через 11 последовательных точек, но использовать его значения только в центральной части этого интервала. Поскольку сплайн-интерполяция дает много лучшие результаты, мы не станем обсуждать подробней идею движущихся полиномов. [48]
Интерполяция с помощью сплайн-функции особенно эффективна для построения гладких интерполяционных кривых. Поэтому она часто используется в машинной графике. При сплайн-интерполяции через каждые две соседние ( сглаженные) точки проводят полином третьей степени. [49]
Подробное рассмотрение методов интерполяции функций и связанных с этой задачей проблем выходит за рамки данного раздела, поэтому мы ограничиваемся только одним методом, получившим в последние годы наибольшее распространение в прикладных исследованиях, - методом сплайн-интерполяции. Происхождение этого метода и самого термина сплайн связывают с техническим приемом чертежников. Из уравнения Эйлера следует, что функция у () является кубическим полиномом, при этом на каждом интервале х, у 1 имеется свой кубический многочлен. Аппарат сплайн-интерполяции в настоящее время существенно развит ( в частности, разработаны методы интерполяции функций, зависящих от двух переменных) и доведен до уровня стандартных функций, включенных в современные программные средства для математических вычислений. [50]
Хотя преобразование между векторной и растровой формами - дело достаточно обычное, есть несколько вещей, о которых вам следует помнить. Чаще всего при преобразовании векторов в растр результаты получаются визуально удовлетворительными, но методы растеризации могут давать результаты, которые не удовлетворительны для атрибутов, представляющих каждую ячейку. С другой стороны, преобразуя растр в вектора, вы можете сохранить подавляющее большинство атрибутивных данных, но визуальные результаты будут часто отражать блочный, лестничный вид ячеек растра, из которых преобразование было произведено. Существуют алгоритмы сглаживания этого лестничного эффекта, использующие математические методы сплайн-интерполяции. [51]
Хотя преобразование между векторной и растровой формами - дело достаточно обычное, есть несколько вещей, о которых вам следует помнить. Чаще всего при преобразовании векторов в растр результаты получаются визуально удовлетворительными, но методы растеризации могут давать результат, которые не удовлетворительны для атрибутов, представляющих каждую ячейку. С другой стороны, преобразуя растр в вектора, вы можете сохранить подавляющее большинство атрибутивных данных, но визуальные результаты будут часто отражать блочный, лестничный вид ячеек растра, из которых преобразование было произведено. Существуют алгоритмы сглаживания этого лестничного эффекта, использующие математические методы сплайн-интерполяции. [52]
В ряде интерактивных графических систем используются функции аппроксимации экспериментальных кривых. Например, в системе Curve Fitter фирмы Interactive Microwave, пользователю предлагаются различные варианты обработки экспериментальных данных: сглаживание, линейная, сплайн-интерполяция, подбор наилучшего полинома заданной степени и приближение по методу наименьших квадратов. Здесь интерактивность работы начинает играть решающую роль: можно быстро прогнать несколько вариантов приближения экспериментальной кривой и выбрать из них наилучший. Например, на рис. 2.14 показан результат аппроксимации спектра излучения методом сплайн-интерполяции. [53]
Необходимо построить градуировочный график для достаточно широкого диапазона определяемых концентраций. По тому, как располагаются экспериментальные точки, видно, что график должен быть криволинейным. В вашем распоряжении есть две стандартные программы, пригодные в такой ситуации. Одна проводит кривую, пользуясь МНК с аппроксимацией полиномом, в другой применяется сплайн-интерполяция. [54]
Второй метод, реализованный в программе СПЛАЙН-РЕГЗ, также аппроксимирует и сглаживает экспериментальные данные сплайн-функциями. Каждое значение X считается точкой перегиба сплайна. Однако надо найти такую сплайн-функцию, для которой линейная комбинация суммы квадратов отклонений значений Y и интеграла квадрата вторых производных была бы минимальна. Если в этой линейной комбинации учитывать только сумму квадратов отклонений ( параметр РР равен 1, строка 200), то получится сплайн-интерполяция. [55]