Cтраница 3
Возникли новые физические представления, была разработана масса методов, использующих самые разнообразные математические средства, было успешно решено совершенно невероятное количество задач. Неизбежным следствием этого процесса явился весьма значительный рост объема науки - так, известный курс Ландау и Лифшица, задуманный в свое время как собрание того минимума сведений, который необходимо знать всякому теоретику, разросся сейчас более чем до 250 печатных листов. Изучение такого количества материала требует нескольких лет упорного труда; ясно, что такая роскошь до-ступна лишь решившим избрать теоретическую физику своей основной специальностью. С другой стороны, даже для профессионалов-теоретиков возникает реальная опасность потерять общую перспективу за деталями хитроумных методов решения частных задач. [31]
В методе решения системы MACSYMA отсутствует поиск: по результатам распознавания задачи устанавливается непосредственная связь с конкретным методом решения для этой задачи. Для представления знаний используются подпрограммы, а для обеспечения интерфейса с пользователем предусмотрены удобные математические средства. [32]
Разделение неупругой дефо-рмации на два вида - мгновенную склерономную) и развивающуюся во времени ( реономную) - является в настоящее время почти общепринятым. Развитие теории неупругого деформирования следовало двум направлениям ( пластичности и ползучести), использующим различные математические средства для описания неупругой деформации: в теории пластичности приращение dp зависит от изменения за интервал dt параметров состояния и не зависит от длительности самого интервала; в теории ползучести dp за интервал dt пропорционален времени dt и не зависит от изменения остальных параметров состояния. Способы, которые для этого были предложены ( экстраполяция диаграмм на бесконечно большую скорость нагружения [72]; вычитание из общей деформации составляющей, определяемой по кривым ползучести [85]), не дают полной уверенности в достоверности получаемых результатов, К тому же в наиболее характерных условиях повторно-переменного неизотермического деформирования их практически невозможно использовать. [33]
Классификация видов экспериментальных исследований может быть проведена в аспекте различных параметров. Поскольку мы изучаем автоматизацию экспериментальных исследований, то будем классифицировать сами экспериментальные исследования по такой совокупности параметров, которая определяет различные аппаратные и математические средства, необходимые для их автоматизации. [34]
Я имел приятную возможность посетиль институт профессора Иоффе в 1930 г. и могу хорошо себе представить, что сотрудничество такого выдающегося руководителя экспериментальными исследованиями в науке, каким был Иоффе, ц ученого, подобного Френкелю, имело чрезвычайное значение для них обоих. Этим самым я хочу подчеркнуть, что он интересовался прежде всего и главным образом тем, что происходит в реальных объектах, и применявшиеся им математические средства обслуживали его физику, а не наоборот, как это иногда случается с представителями современного поколения ученых. Справедливость подобного утверждения, можно сказать, засвидетельствована каждой страницей его книги о жидкостях. Он спрашивает: Что же происходит в действительности и как это можно объяснить. [35]
Хорошим примером может служить позитронная эмиссионная ( двухфотонная) томография, математический аппарат которой сводится к обычному преобразованию Радона, характерному для трансмиссионной томографии. Поэтому в книге рассмотрены методы уже в некотором смысле завершенные и называемые поэтому традиционными, а также некоторые новые методы, находящиеся в процессе развития, но отличающиеся тем, что они привлекают новые математические средства. Естественно, описаны методы, к развитию которых автор имел отношение, и поэтому другие важные и интересные направления остались за пределами изложения. [36]
Непараметрические методы обладают рядом преимуществ перед гауссовскими. Основные из них - более широкое поле приложений, меньшая чувствительность к засорениям статистических данных, к влиянию грубых ошибок, попавших в статистический материал. Математические средства в непараметрической статистике намного проще-тех, что необходимы в гауссовской статистике. [37]
Турбо Паскаль является достаточно эффективным языком для программирования вычислительных задач. В нем реализован необходимый набор математических функций, позволяющий на их основе достраивать библиотеку научных подпрограмм. В этой главе мы рассмотрим математические средства Турбо Паскаля. [38]
Противники математизации обычно аргументируют тем, что математика неприменима там, где мы имеем дело с очень сложными системами. Так, среди биологов бытует мнение, что математические средства применимы лишь к самым простым биологическим явлениям, исключительная же сложность, многообразие и изменчивость их основной массы делают пх будто бы недоступными для математической трактовки. Этот аргумент, который некоторым кажется справедливым, на деле глубоко ошибочен. Как удачно заметил Л. Б. Баженов, он даже не просто неверен: это великолепный пример логической ошибки пол seqitur. Ведь из сложности биологических явлений следует иа самом деле противоположный вывод: поскольку они слишком сложи ы, для их глубокого изучения необходимы математические средства ( Л. Б. Баженов, Б. В. Бирюков, 1968, стр. [39]
Порядок расположения материала в книге соответствует установившемуся на физическом факультете МГУ плану чтения курса лекций. В частности, изложению систематического курса в настоящей книге предшествует глава 1 - Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа. В этой главе рассматриваются некоторые важные физические задачи и обсуждаются математические средства, необходимые для их решения. Таким путем выясняется тот круг вопросов и понятий, с которым придется иметь дело в курсе математического анализа. Опыт чтения лекций показывает, что такое предвари тельное выяснение вопросов, которым посвящен курс анализа, существенно облегчает студентам усвоение абстрактных математических понятий. [40]
Коши ( 1), некоторую пользу может принести знание физической сущности моделируемого физического объекта. В данной задаче, например, можно предвидеть, что решение носит колебательный ( периодический) характер. Однако математическая модель ( 1) после ее построения становится самостоятельным объектом, для изучения которого можно применять любые математические средства, в том числе и те, которые не имеют никакого отношения к физическому происхождению задачи. Это сильно расширяет возможности исследователя. [41]
Френкель выдвинул ее в 1926 г. В своей книге Кинетическая теория жидкостей он с характерной скромностью воздает должное вкладу, внесенному в этот вопрос профессором Иоффе. Я имел приятную возможность посетить Институт профессора Иоффе в 1930 г., и я могу хорошо себе представить, что сотрудничество такого выдающегося руководителя экспериментальными исследованиями в науке, каким был Иоффе, и ученого, подобного Френкелю, имело чрезвычайное значение для них обоих. Этим самым я хочу подчеркнуть, что он интересовался прежде всего и главным образом тем, что происходит в реальных объектах, и применявшиеся им математические средства обслуживали его физику, а не наоборот, как это иногда случается с представителями современного поколения ученых. Справедливость подобного утверждения, можно сказать, засвидетельствована каждой страницей его книги о жидкостях. Он спрашивает: Что же происходит в действительности и как это можно объяснить. Вот изящная теория; годится ли она. [42]
Молекулярное строение материи неизбежно приводит к разбросу свойств элементов, изготовленных даже, казалось бы, при одних и тех же условиях, из одной и той же партии исходного сырья. Этот разброс достигает порой очень больших размеров. Это обстоятельство приводит к тому, что теория вероятностей и математическая статистика становятся основным расчетным аппаратом теории надежности. Эти же математические средства используются при формулировке основных понятий и критериев оценки качества продукции. [43]
Непосредственное же интегрирование диферен-циальных уравнений, заданных в векторной форме, доступно лишь в ограниченном числе случаев. Study), очень энергично предостерегает от пренебрежения координатными методами. Математические задачи, в которые выливаются проблемы естествознания и техники, необычайно трудны; все математические средства должны быть использованы для их разрешения. Векторное исчисление и классический анализ должны составлять одно целое, совместно расширяя пути и методы математического исследования. [44]
Декарт в этом случае говорит о силе двух измерений, и мощность - тогда, по Декарту, сила имеет три измерения. Не было также общепринятого определения массы - расплывчато говорили о массивности тела, о его громаде, смешивая это понятие с весом, с тяжестью. Не было удобных математических обозначений для того, чтобы записывать бесконечно малые величины ( перемещения, промежутки времени), и поэтому определение скорости в данный момент ( мгновенной скорости) или виртуального перемещения можно было дать только словесно, а ускорение как самостоятельное понятие отсутствовало. Не было общего представления о размерности физических величин, и лишь частично была преодолена идущая от античности традиция составлять отношение только из однородных величин. Математические средства по сравнению с античностью обогатились благодаря введению буквенного языка тогдашней алгебры, инфинитезималь-ные представления и методы были уже хорошо развиты, была создана аналитическая геометрия, но строгость доказательства, по тогдашним воззрениям, могла быть достигнута только применением геометрических соображений, и алгоритм анализа бесконечно малых еще предстояло изобрести. Возможности эксперимента были ограничены малой точностью измерений времени ( Галилей пользовался или счетом ударов своего пульса, или водяными часами), длины, веса - отсутствовали эталоны высокого качества. [45]