Cтраница 2
Итак, мы имеем категорию ( см. Стинрод и Эйлен-берг [28]), объектами которой являются замкнутые многообразия, а морфизмами - классы эквивалентности с кобордизмов. [16]
В случае, если А - алгебра Стинрода, то эта конструкция согласована с формулой Кюннета: если X и У - любые пространства, то ff ( X& Y % p) ff ( X2 р) Н ( У Я Таким образом, / 7 / Х YJ2 / 0 является А-модулем по двум причинам: во-первых, когомологии любого пространства являются А-модулем; во-вторых, структура А-модуля может быть введена с помощью общей конструкции, так как А - алгебра Хопфа. Формула Картана показывает, что эти структуры одинаковы. [17]
Весьма общее определение этих групп было дано Стинродом. [18]
Вероятно, самой первой теоремой единственности является теорема Стинрода и Эйленберга. [19]
Основная идея построения теории гомологии такого типа принадлежит Стинроду и Эйленбергу2) 114, стр. Эти гомологии были использованы К. А. Ситниковым [48] ь 1954 г. для распространения классических теорем двойственности Александера на произвольные ( не обязательно замкнутые или открытые) подмножества евклидовых пространств. Обобщенную теорему двойственности Ситникова мы рассмотрим в гл. [20]
Операции St q и St p называются операциями Стинрода. [21]
Всестороннее обсуждение обратных спектров было дано Эйленбергом и Стинродом в их книге [1952]; после выхода этой книги обратные спектры начали широко изучаться и применяться. [22]
Эти операции были введены Новиковым для вычисления когомологий алгебры Стинрода Ар и модулей над Лр. Этот результат был также доказан Тода ( 1960), использовавшим другой подход. Следовательно, кольцо vrf локаль-но-нильпотентно, хотя и не является нильпотентным в строгом смысле. Мэй опубликовал статью, доказывающую ( на немного более общем категорном языке) все основополагающие результаты, нужные для этих операций. Общая теорема нильпотентности была доказана Хопкинсом, Девинацем и Смитом в середине 1980 - х годов. В своей простейшей форме она утверждает, что если когомологий H ( XjZ) кольцевого спектра X ( или стабильного пространства с мультипликативной структурой типа стабильных пространств Тома) не имеют кручения, то любой элемент из Тогтг. [23]
Сравнивая эту формулу с явным определением расслоения Хопфа ( см. Стинрод [ I ], стр. [24]
Для начала напомним следующий хорошо известный факт о действии квадратов Стинрода на характеристических классах по модулю 2 и когомологиях по модулю 2 многообразий Штифеля. [25]
Существуют в этом случае и операции, аналогичные остальным квадратам Стинрода. [26]
Хорошо известно, что за пределами категории 0 классическая теорема единственности Стинрода - Эйленберга уже неверна. В связи с этим естественно встает вопрос, какие утверждения следует добавить к списку аксиом Стинрода - Эйленберга, чтобы получить единственность в более широких, чем 3 § 0, категориях. Ниже приводится основная информация, имеющаяся на этот счет. [27]
В силу (3.7.8), дифференциал dq коммутирует с квадратами и степенями Стинрода. Это весьма важно в некоторых узловых вычислениях. В частности, элемент z e Hq ( F ] называется трансгрессивным, если r ( z) - определено. [28]
Для более детального изучения действия на проективных пространствах мы используем операции Стинрода Напомним кратко их необходимые нам свойства. [29]
Графически эти алгебры когомологий по модулю 2 вместе с действием квадратов Стинрода можно следующим образом изобразить диаграммой. [30]