Cтраница 3
В этом и в следующих параграфах будут описаны строение и способы нахождения оптимальных стратегий игроков в выпуклых играх на единичном квадрате. [31]
Пусть игра является замкнутой, и х Х, г / еУ - - оптимальные стратегии игроков. [32]
I, а Х [ В ] и Y [ B ] обозначим множества оптимальных стратегий игроков I и II соответственно. [33]
Если игра не имеет седловой точки, то возникают затруднения в определении цены игры и оптимальных стратегий игроков. Область между ( 3 и а является как бы ничейной, и каждый игрок может попытаться улучшить свой результат за счет этой области. Каковы же должны быть в этом случае оптимальные стратегии игроков. [34]
Прямоугольность множества всех ситуаций равновесия антагонистической игры означает, что ситуацию равновесия в игре составляет любая пара оптимальных стратегий игроков в ней. Другими словами, прямоугольность множества ( Г) означает взаимозаменяемость оптимальных стратегий: в ситуации равновесия игроки могут заменять составляющие ее оптимальные стратегии на любые другие свои оптимальные стратегии; при этом не изменяется ни факт равновесности ситуации, ни выигрыши игроков в ситуации. [35]
Кроме того, оказывается, что для перечисления всех ситуаций равновесия игры основную трудность составляет нахождение спектров оптимальных стратегий игроков, после чего остается сравнительно несложная и традиционная работа. [36]
Соответствующее доказательство является весьма неконструктивным ( неэффективным), и взятое само по себе никаких методов нахождения оптимальных стратегий игроков, как пределов последовательностей их е-опти-мальных стратегий, не дает. [37]
Пусть Г - выпуклая игра с функцией выигрыша Н, дифференцируемой по у при любом х, у - чистая оптимальная стратегия игрока 2 в ней, avr - ее значение. [38]
Если игрок 2 имеет в игре Г ( х, у, Н) только одну стратегию у0 ( т.е. У - Jo), то оптимальной стратегией игрока 1 будет та его стратегия, для которой функция Н ( -, УЪ): х - R достигает на х своего максимума. [39]
Естественно считать, что если для какой-либо бесконечной игры величины V и V2 существуют и равны между собой ( V Vi V), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 есть выбор числа х0 е X и игрока 2 - числа у0 е 7, при которых Щ о, У о) F, в этом случае V называется ценой игры, а ( х0, у0) - седло-вой точкой в чистых стратегиях. [40]
Для игрока Р1 имеется m стратегий, для игрока Р2 - и стратегий. Требуется найти оптимальные стратегии игроков PJ и Р2 и их выигрыши. [41]
Таким образом, оптимальная стратегия игрока 2 в новой 2 X 2-игре является оптимальной его стратегией и в исходной 2 X -игре. [42]
Поэтому полная определенность смешанного расширения матричной игры должно пониматься в том смысле, что в условиях применения игроками оптимальных смешанных стратегий однозначно устанавливается математическое ожидание выигрыша игрока 1, которое и будет равно значению игры. Разумеется, если оптимальные стратегии игроков являются строго смешанными ( т.е. не являются чистыми), то фактические ( случайные) значения выигрышей игроков в отдельных партиях игры могут оказаться различными. [43]
Если vv, то пара ( i0, /) составляет седловую точку игры; число а / оу -, есть значение игры, а стратегии г0 / 0 суть оптимальные чистые стратегии. В этом случае оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий. [44]
Это значение указывает на оптимальную стратегию активного игрока. [45]