Cтраница 2
Как и в случае групп, свободно действующих на Е3, ясно, что каждое из описанных семи многообразий обладает структурой расслоения над одномерным орбиобразием. Действительно, многообразие S2 X R расслоено на двумерные сферы 52 X точка, и это слоение опускается до слоения всех фактормногообразии. R и Р2 X R базовым орбиобразием служит R, а для нетривиального линейного расслоения над Р2 - полуинтервал, имеющий одну отражающую точку. [16]
Отсюда следует, между прочим, что окрестность эллиптической кривой на поверхности, где кривая имеет положительный индекс самопересечения, как правило, не допускает структуры расслоения над этой кривой. Действительно, комплексная структура эллиптической кривой при деформации, вообще говоря, меняется. Поэтому среди близких продеформированных кривых будут встречаться, в общем случае, кривые, не допускающие биголоморфного отображения на исходную кривую. [17]
Как показывает следующий результат, верно, однако, и то, что слоения Зейферта из некоторого широкого класса гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные структуры расслоений Зейферта. [18]
Если у многообразия М3 существует слоение на поверхности, каждая из которых компактна, то у всякого слоя есть окрестность одного из указанных двух типов, поэтому М автоматически обладает структурой расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием. Конечно, слоение многообразия М на некомпактные поверхности не обязано иметь такой специальный вид. Полезно, однако, заметить, что если индуцированное слоение на конечнократном накрытии М многообразия М задает на М структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием, то и само многообразие М должно обладать такой структурой. [19]
Структура расслоения определяется тем. [20]
Векторное поле 6в - pid / dpi порождает поток q ( t) q ( 0), Pi ( t) e - pi ( 0), но не задает никаких канонических преобразований. Оно характеризует структуру расслоения Т ( М): линии тока служат слоями, а неподвижные точки - базисом. [21]
Все рассматриваемые факторпространства сферы S3, кроме призматических многообразий и линзовых пространств, обладают единственной структурой расслоения Зейферта. Призматические многообразия допускают две структуры расслоения Зейферта, а все линзовые пространства - бесконечно много структур расслоения Зейферта. [22]
Тогда соответствующее расслоение многообразия Nil на плоскости сохраняется при действии группы я ( М) и образ каждого слоя в М компактен. Поэтому мы получаем на М структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием, слоями которого служат торы или бутылки Клейна. Так как многообразие М ориентируемо, то регулярные слои не могут быть бутылками Клейна. [23]
G на Е сопряжены одной подгруппе Н С G. В этом случае пространство Е обладает структурой ассоциированного расслоения. [24]
Оставшиеся двенадцать расслоений Зейферта с неориентируемым тотальным пространством дают всего четыре различных многообразия - четыре расслоения на окружности над бутылкой Клейна. У каждого из этих многообразий по три структуры расслоения Зейферта, соответствующие трем различным направлениям в Е3, остающимся неизменными при действии его фундаментальной группы. Пусть, например, G - дискретная группа изометрий пространства Е3, порожденная сдвигами вдоль осей у и г и третьей изометрией, представляющей собой композицию сдвига вдоль оси х и отражения в плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси у, наделяет E3 / G структурой тривиального расслоения над бутылкой Клейна со слоем окружность. Прямые, параллельные оси г, превращают E3 / G в расслоение над тором со слоем окружность, а прямые, параллельные оси х - в слоение Зейферта над кольцом. [25]
Приведенное выше определение включает выбор координатных окрестностей Vt и локальных структур прямого произведения /, следовательно, оно не является внутренним. Имеется очевидное отношение эквивалентности между двумя такими структурами расслоения. [26]
Тогда многообразие ( S2 X X R) / G по-прежнему изоморфно S2XS, но оно наследует структуру слоения на прямые, а не на окружности. Во-вторых, два из указанных четырех многообразий допускают бесконечно много структур расслоения Зейферта. Например, многообразие S2 X 51 можно получить как фактормногообра-зие многообразия S2 X R по действию циклической группы, порожденной винтовым движением, поворотная часть которого может иметь любой наперед заданный порядок. [27]
X R, SLaR или Nil, является слоением Зейферта. Если М допускает геометрическую структуру по образцу Sol, то М обладает структурой расслоения над одномерным орбиобра-зием. [28]
И обратно, всякое трехмерное многообразие М, которое можно с конечной кратностью накрыть трехмерным тором, является слоением Зейферта. Теперь воспользуемся тем отмечавшимся после теоремы 4.3 фактом, что / V допускает структуру расслоения над одномерным орбиобра-зием. Значит, N - либо расслоение над окружностью, либо объединение двух скрученных / - расслоений. Отсюда следует, что N является многообразием Хакена. В случае когда N - расслоение над S1 или пересечение двух / - расслоений, в качестве F можно взять просто слой. Знаменитая теорема Вальдхаузена [74], перенесенная Хейлом [20] на неориентируемый случай, показывает, что многообразия М и N гомеоморфны. [29]
Все рассматриваемые факторпространства сферы S3, кроме призматических многообразий и линзовых пространств, обладают единственной структурой расслоения Зейферта. Призматические многообразия допускают две структуры расслоения Зейферта, а все линзовые пространства - бесконечно много структур расслоения Зейферта. [30]