Cтраница 4
И наконец, рассмотрим случай, когда группа G0D R2 тривиальна. В этом случае проекция р: Sol - - R индуцирует изоморфизм группы GO с некоторой подгруппой группы R. Таким образом, GO - дискретная абелева подгруппа группы Sol, причем пересечение G0 П R2 тривиально. Чуть ниже мы покажем, что тогда группа GO циклическая. Так как многообразие Sol / G является факторпространством многообразия Sol / Go по действию некоторой конечной группы, сохраняющей структуру расслоения, то на Sol / G есть структура расслоения над некоторым одномерным орбиобразием. Все слои должны совпадать с R2, так как это единственная поверхность, накрываемая плоскостью R2 с конечной кратностью. Поэтому в базе не может быть отражающих точек. [46]
И наконец, рассмотрим случай, когда группа G0D R2 тривиальна. В этом случае проекция р: Sol - - R индуцирует изоморфизм группы GO с некоторой подгруппой группы R. Таким образом, GO - дискретная абелева подгруппа группы Sol, причем пересечение G0 П R2 тривиально. Чуть ниже мы покажем, что тогда группа GO циклическая. Так как многообразие Sol / G является факторпространством многообразия Sol / Go по действию некоторой конечной группы, сохраняющей структуру расслоения, то на Sol / G есть структура расслоения над некоторым одномерным орбиобразием. Все слои должны совпадать с R2, так как это единственная поверхность, накрываемая плоскостью R2 с конечной кратностью. Поэтому в базе не может быть отражающих точек. [47]
R, S2 X или Н2 X R - Поэтому, как было объяснено в § 4, М допускает структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобра-зием У. Циклическая подгруппа / С в iii ( M) с носителем на регулярном слое действует на этом сомножителе сдвигами. Из предположения о том, что группа К центральна, следует, что отражения сомножителя R отсутствуют. Поэтому орбиобразие У должно быть окружностью. Следовательно, М имеет структуру расслоения над 51 с периодическим отображением склейки. [48]
Столь же ясно, что существует естественное слоение многообразия М на поверхности, ортогональные слоям слоения Зейферта, а именно на образы плоскостей Е2 X точка. Если М замкнуто и, следовательно, конечнократно накрывается трехмерным тором, то, очевидно, каждый слой слоения М накрывается тором и потому должен быть тором или бутылкой Клейна. Отсюда следует, что наше слоение многообразия М задает на М структуру расслоения над одномерным орбиобразием. Если базовое орбиобразие является окружностью, то М - расслоение над окружностью, слоем которого служит тор или бутылка Клейна. Существует естественное действие группы R на Е2 X Е1 посредством сдвигов вдоль второго сомножителя, и это действие коммутирует с действием всех элементов группы G. Ясно, что это последнее сохраняет на М структуру расслоения над S1 со слоем F. Пусть t - наименьшее положительное число, сдвиг на которое оставляет каждый из слоев расслоения М на месте, и pt - индуцированный таким образом диффеоморфизм слоя F. Теперь мы знаем, что М является также слоением Зейферта, и указанное действие группы R оставляет на месте каждый слой слоения Зейферта. В частности, отсюда следует, что отображение склейки ( ft расслоения М периодично. [49]