Cтраница 3
На всяком замкнутом трехмерном многообразии М с геометрической структурой по образцу Nil имеется естественная структура слоения Зейферта. Поле ортогональных к слоям этого слоения плоскостей на М неинтегрируемо, поэтому на М нельзя ввести структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием со слоями, ортогональными слоям расслоения Зейферта. [31]
Поэтому на многообразии Sol / G0 определена структура расслоения над одномерным орбиобразием со слоем S1 X R и базой К. Так как многообразие Sol / G является фактормногообразием многообразия Sol / G0 по действию некоторой конечной группы, сохраняющей структуру расслоения, то и на Sol / G определена структура расслоения над одномерным орбиобразием. При этом его базой должна быть прямая R или полуоткрытый интервал с одной отражающей точкой, а слоями - открытые кольца или ленты Мебиуса. [32]
Как и в случаях Е3 и S2X R, инвариантная структура прямого произведения на Я2 X R определяет естественное слоение многообразия М на поверхности. Компактное многообразие М накрывается многообразием S1 X F конечнократно, поэтому все слои этого слоения компактны и, значит, М обладает также структурой расслоения над некоторым одномерным орбиобразием. Если база - окружность, то М - расслоение в обычном смысле, и отображение склейки этого расслоения периодично. [33]
Поэтому на многообразии Sol / G0 определена структура расслоения над одномерным орбиобразием со слоем S1 X R и базой К. Так как многообразие Sol / G является фактормногообразием многообразия Sol / G0 по действию некоторой конечной группы, сохраняющей структуру расслоения, то и на Sol / G определена структура расслоения над одномерным орбиобразием. При этом его базой должна быть прямая R или полуоткрытый интервал с одной отражающей точкой, а слоями - открытые кольца или ленты Мебиуса. [34]
До сих пор речь шла лишь об одной трехмерной группе изометрий многообразия Nil, а именно о самой группе Nil. Кроме того, на многообразии Nil определено действие группы S1 автоморфизмами группы Nil, сохраняющее указанную метрику. Это действие сохраняет структуру расслоения на Nil и индуцирует поворот плоскости Е2, оставляющий на месте начало координат. [35]
Напомним, что многообразие Nil представляет собой линейное расслоение над Е2 и что группа Я1 ( М) действует на Nil, сохраняя эту структуру. Таким образом, М наследует структуру расслоения Зейферта t над некоторым орбиобразием X, являющимся факторпро-странством плоскости Е2 по действию некоторой группы изометрий. [36]
Здесь излагается схема гамильтоновой редукции ( [ sj), которая используется в § 3 для пополнения потоков обобщенных цепочек Тоды. В терминах редукции объясняется теорема I. Те из них, которые имеют структуру кокасатель-ного расслоения к К - орбите в V особенно интересны для механики. [37]
Согласно развитой в этой статье теории, группа когомологий Я. У ( 2)) задает голоморфные решения со спиральностью - 2 этих уравнений в трубе будущего М комплексифицированного пространства Минковского. Эта группа когомологий в точности совпадает с инфинитезимальным параметрическим пространством для деформаций структуры расслоения P - Pi, которое является элементом конструкции нелинейного гравитона ( Пенроуз [35]) и которое дает общее ( локальное) голоморфное антиавтодуальное решение уравнений Эйнштейна. [38]
Окончательный подсчет числа замкнутых плоских трехмерных многообразий дает: их всего десять, причем шесть из них ориентируемы. Заметим, что G содержит по одному винтовому движению вдоль прямых, параллельных оси г, на каждую целочисленную точку плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси г, наделяют факторпространство E3 / G структурой расслоения Зей-ферта над орбиобразием S2 ( 2, 2, 2, 2), а слоение на прямые, параллельные ( скажем) оси х, наделяет E3 / G структурой расслоения на окружности над бутылкой Клейна. Можно провести и более грубое построение, напрямую работающее с фактормногообразиями, в котором используется представление бутылки Клейна в виде слоения Зейферта над интервалом с двумя особыми слоями, соответствующими его концам. [39]
Если у многообразия М3 существует слоение на поверхности, каждая из которых компактна, то у всякого слоя есть окрестность одного из указанных двух типов, поэтому М автоматически обладает структурой расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием. Конечно, слоение многообразия М на некомпактные поверхности не обязано иметь такой специальный вид. Полезно, однако, заметить, что если индуцированное слоение на конечнократном накрытии М многообразия М задает на М структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием, то и само многообразие М должно обладать такой структурой. [40]
Другие структуры слоения Зейферта сохраняются не всеми правыми умножениями. Однако умножение в группе S3 справа на комплексные числа, по модулю равные единице, образующие окружность S1, которую мы отождествляем с окружностью 22 0 в S3, сохраняет все эти структуры. Таким образом, всякая конечная, а значит, циклическая подгруппа группы S1 свободно действует на S3, сохраняя все структуры слоения Зейферта, и при этом мы получаем фактормногообразия с бесконечным числом неизоморфных структур расслоений Зейферта. [41]
Окончательный подсчет числа замкнутых плоских трехмерных многообразий дает: их всего десять, причем шесть из них ориентируемы. Заметим, что G содержит по одному винтовому движению вдоль прямых, параллельных оси г, на каждую целочисленную точку плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси г, наделяют факторпространство E3 / G структурой расслоения Зей-ферта над орбиобразием S2 ( 2, 2, 2, 2), а слоение на прямые, параллельные ( скажем) оси х, наделяет E3 / G структурой расслоения на окружности над бутылкой Клейна. Можно провести и более грубое построение, напрямую работающее с фактормногообразиями, в котором используется представление бутылки Клейна в виде слоения Зейферта над интервалом с двумя особыми слоями, соответствующими его концам. [42]
Столь же ясно, что существует естественное слоение многообразия М на поверхности, ортогональные слоям слоения Зейферта, а именно на образы плоскостей Е2 X точка. Если М замкнуто и, следовательно, конечнократно накрывается трехмерным тором, то, очевидно, каждый слой слоения М накрывается тором и потому должен быть тором или бутылкой Клейна. Отсюда следует, что наше слоение многообразия М задает на М структуру расслоения над одномерным орбиобразием. Если базовое орбиобразие является окружностью, то М - расслоение над окружностью, слоем которого служит тор или бутылка Клейна. [43]
Рассмотрим случай, когда базовым орбиобразием является окружность. Тогда М представляет собой расслоение над окружностью, слоем которого служит тор. Группа щ ( X) должна быть изоморфна ZX - Отображение склейки этого расслоения можно представить себе таким же образом, как и в случае геометрий произведения. На многообразии Nil определен поток, орбитами которого являются горизонтальные кривые, ортогональные плоскостям нашего слоения многообразия Nil, и этот поток опускается до потока на многообразии М, сохраняющего структуру расслоения на торы над окружностью. Если t - наименьшее положительное число, такое что каждый слой инвариантен относительно сдвига на /, то индуцированный диффеоморфизм ф / слоя и будет отображением склейки. Так как поток на Nil сохраняет вертикальные прямые, то диффеоморфизм ф должен сохранять вертикальные окружности в слое-торе. [44]
Поэтому М, а значит, и М являются слоениями Зейферта. В частности, группа ni ( M) содержит бесконечную циклическую нормальную подгруппу. Итак, мы показали, что если многообразие М обладает геометрической структурой по образцу 53, 52X R, Н3 или Sol, то утверждение теоремы выполняется. Чтобы завершить доказательство, предположим, что М допускает одновременно две из геометрических структур по образцу Е3, Я2 X R, SLgR, Nil, и придем к противоречию. Из этого предположения вытекает, что М допускает две неизоморфные структуры расслоения Зейферта. [45]