Cтраница 3
В § 32 мы нашли удобное выражение для частной суммы ряда Фурье, из которого можно легко вывести одно важное следствие. [31]
Формула (48.4) не только доказывает ограниченность в совокупности частных сумм ряда Фурье для функции с ограниченным изменением, но и указывает границы, в которых они заключены, в зависимости от границ этой функции и ее полного изменения. [32]
Действительно, последовательность ( 5 ( х) частных сумм ряда является последовательностью непрерывных функций на отрезке [ а, Ь ], так как сумма конечного числа непрерывных функций на отрезке - непрерывная функция на этом отрезке. [33]
Фурье по косинусам и, следовательно, равен частной сумме ряда Фурье по косинусам. Этот факт, конечно, легко проверить и непосредственно с помощью теории вычетов. Отсюда уже следует рассматриваемая теорема о связи между разложением по собственным функциям и разложением в ряд Фурье. Если sina 0 или sin ( 3 0, данная теорема доказывается аналогично. [34]
Доказанная теорема, в частности, означает, что частные суммы ряда Фурье по многочленам Чебышева - это хороший аппарат приближения непрерывных функций. [35]
Для функции / ( х) с ограниченным изменением частные суммы ряда a ( f) ограничены в своей совокупности. [36]
Если в каждой точке некоторого интервала 1 верхний и нижний пределы частных сумм лакунарного ряда конечны, то этот ряд сходится абсолютно. [37]
Лебегу) на [ 0, 2я ] функции / имеется подпоследовательность частных сумм ряда ( 2), сходящаяся к / ( х) почти всюду. [38]
Наконец, фейеровские суммы позволяют в некоторых случаях составить суждение и об обыкновенных частных суммах ряда Фурье. [39]
Для сходимости ряда S n с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены. [40]
Нетрудно проверить, что ядра QN ( t, s) операторов Зя, отвечающих частным суммам ряда Фурье по функциям h ( n неотрицательны. [41]
Грюнвальд [1] иВебстер [1] изучили некоторые типы суммирования для многочленов Лагранжа, аналогичные методу Рого-зинского для частных сумм ряда Фурье. Применяемые узлы являются нулями многочленов Чебышева соответственно первого или второго рода. [42]
Таким образом, sn ( wz Q sn ( w2, cos a) может быть заменена тг-й частной суммой ряда Фурье с ошибкой о ( 1) при п - оо. [43]
Можно было бы подумать, что формула (36.1) чересчур груба; в самом деле, может показаться, что для ограниченной функции частные суммы ряда Фурье должны быть ограниченными. Однако это неверно даже для непрерывных функций. Если бы ряд Фурье от непрерывной функ ции равномерно сходился к ней, то такая ограниченность должна была бы иметь место; но мы увидим дальше, что для непрерывных функций ряды Фурье могут сходиться неравномерно, а также могут расходиться и даже на бесконечном множестве точек иметь неограниченные частные суммы. [44]
Можно поставить вопрос так: существует ли непрерывная функция / ( х), у которой & ( /) расходится на множестве мощности континуума, но частные суммы ряда все же ограничены. [45]