Cтраница 3
Докажем еще другую теорему, устанавливающую, что задача приближения функций посредством функций конечной степени является естественным обобщением задачи приближения периодической функции посредством конечных тригонометрических сумм. [31]
Во многих задачах небесной механики, физики, техники встречаются процессы, в которых зависимость от времени не является периодической, а выражается посредством тригонометрических сумм. [32]
Эта теорема доказывается совершенно так же, как и теорема § 14; и подобно ей, mutatis mutandis, получаются и другие эквивалентные теоремы, если многочлены заменяются тригонометрическими суммами. [33]
Таким был математик, уже завоевавший себе известность работами по анализу и только что вышедшей книгой о римановых поверхностях, которому предстояло в ближайшие пять лет буквально взорваться целым фейерверком работ по теории чисел ( равномерное распределение и оценки тригонометрических сумм), дифференциальной геометрии ( жесткость выпуклых поверхностей и пространства аффинной связности), обшей теории относительности ( новые решения уравнений теории), единой теории поля, основаниям математики и логике ( развитие интуиционизма и новый подход к кон. [34]
Вряд ли нужно отмечать, что все приведенные выше рассуждения и оценки полностью применимы к приближению периодических функций, если вместо приближения ЕП т многочленами рассматривать наилучшее приближение ЕП, т ( Р ( х, у)) посредством тригонометрических сумм порядка п и т относительно х ж у соответственно. [35]
В связи с изложенным выше следует напомнить о результатах, относящихся к верхней грани приближения функций данного класса посредством функций конечной степени ( 2 3), которая, как известно, совпадает для периодических функций с соответствующей гранью приближений тригонометрическими суммами. [36]
Я замечу только, что эти проблемы аналогичны проблемам, касаю - щимся положительных тригонометрических сумм, которые Фейер и его ученики, в частности Сас и Егервари, разрешили, используя важную теорему Фейера и Риса, по которой всякая положительная тригонометрическая сумма может быть отождествлена с квадратом модуля некоторого многочлена с комплексными коэффициентами; наш метод также приводит к решению всех этих задач. [37]
Впервые, в 1924 г. И. М. В и н о г р а д о в [7] показал, что решение хорошо известной проблемы Варинга о представлении всякого целого числа в виде суммы ограниченного числа данных степеней чисел натурального ряда может быть получено с помощью оценки тригонометрической суммы. [38]
Благодаря замене переменной х - cos б, многочлен степени п превращается в тригонометрическую сумму п-то порядка относительно cos б, Поэтому все результаты, относящиеся к наилучшему приближению произвольной непрерывной функции, заданной на отрезке [ - 1, 1], посредством многочленов, приводят к соответствующим предложениям о наилучшем приближении любых непрерывных периодических функций с периодом 2тг посредством конечных тригонометрических сумм. [39]
Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля. [40]
В этих исследованиях тригонометрическая сумма интерпретируется как след некоторого оператора ( оператора Фробениуса или оператора монодромии), действующего в пространстве сечений специально построенного пучка на алгебраическом многообразии. Таким способом общие тригонометрические суммы строятся с помощью групп когомологий с компактным носителем на подходящем накрытии Артина-Шрайера W некоторого аффинного многообразия V. Тогда оценка тригонометрических сумм может быть сведена к оценке А. В общем случае неизвестно даже существование такой компактификации, однако-эту трудность можно обойти с помощью техники второй части работы Делиня о гипотезе Вейля [186], содержащей широкое обобщение этих гипотез. Это обобщение указывает собственные значения элемента Фробениуса для когомологий с компактным носителем пучков на произвольных многообразиях, в то время как первоначальная формулировка гипотез относится, по существу, к постоянным пучкам на гладком проективном многообразии. Впечатляющие примеры того, как работают обобщения гипотез А. [41]
Отметим только, что подсчет числа решений диофантовых уравнений с помощью соотношений ортогональности типа (2.31) встречается в теории чисел в самых различных вариантах, см. ниже II, гл. Этому приему обязано столь широкое распространение тригонометрических сумм типа (2.30) ( в частности, гауссовых сумм, сумм Якоби и Клостермана, см. гл. [42]
Но стоящее в левой части выражение является тригонометрической суммой указанного вида порядка не выше А; эта сумма стремится к своему пределу равномерно. Следовательно, на основании леммы о тригонометрических суммах, формулировка и доказательство которой содержатся в § 5 и 6 этой главы, предел этой суммы будет суммой того же вида. Но представить 2 ( 1, - / - о) как конечную тригонометрическую сумму, очевидно, невозможно. [43]
Полигармоническим называется процесс, представи-мый в виде конечной тригонометрической суммы. [44]
Полигармоническим называется [105] процесс, представи-мый в виде конечной тригонометрической суммы. [45]