Cтраница 4
Прежде чем приступать к доказательству теоремы 2, отметим, что ее нетривиальность заключается, во-первых, в том, что поточечный супремум dKt E, вообще говоря, несчетного множества измеримых функций измерим, а, во-вторых, в том, что он совпадает с супремумом соответствующего множества в упорядоченном пространстве S ( S, 2г, v), так как в силу теоремы 2 dKt E реализуется на некотором счетном семействе ( ср. [46]
Из сказанного ясно, что на самом деле функция ГГО1 ( со) зависит от со через Tim ( со) ( чтобы не вводить новых обозначений, будем писать Гт, ( со) Гт ( rim ( со)) и в (2.192) и (2.194) супремум достаточно брать не по всем марковским моментам t ЕЕ Ж ( т; п) STO ( т; п) [ рЦ, а только по классу SR ( тп; п) [ F 1 ] Q SK ( т; п) [ РЦ. [47]
К UZ, т.е. произвольные вероятностные меры на xKUL9 а через / ( A: UL) - вероятностные меры на У / ( л: и /, ) Если ограничиться только такими вероятностными мерами на XKUL, которые являются произведениями независимых распределений Хк и XL на декартовом произведении х X XL, то область изменения переменной, по которой производится максимизация, сузится, и написанный супремум может разве лишь уменьшиться. [48]
Беллмана для аналогичной задачи с дискретным временем и имеет единственное ограниченное решение. Если супремум в ( 8) достигается при a - - - a ( x), a. Щдо на 9 ( 5 переносятся на случай функционала ( 6) и результаты о существовании Е - оптимальных стратегий в моделях разных типов. При критерии ( 7) законченные результаты получены лишь для конечных и специального вида эргодич. [49]
X достигает своего супремума на К и, значит, любой х О является касательным к К. Наконец, в связи с этим отметим, что если каждый функционал х Ф О из X касателен к замкнутому выпуклому подмножеству К банахова пространства X, то К слабо компактно. Эта глубокая теорема принадлежит Джеймсу. [50]
Теорема 6.5. Пусть конус КС Е телесен, нормален и миниэдрален. Тогда каждый компакт МСЕ имеет супремум. [51]