Cтраница 4
На нее переносятся многие желательные свойства ультрастепеней, и в частности основная теорема, теорема об обогащении и существовании естественного вложения. Для многих проблем теории моделей конструкции ультрастепеней недостаточно, а конструкция предельных ультрастепеней дает нам искомые модели. Несмотря на то что определение ультрастепени проще, класс предельных ультрастепеней модели ЭД в некотором смысле гораздо более естествен, чем класс ультрастепеней модели ЭД ( ср. Прежде чем перейти к определению предельных ультрастепеней, изучим более подробно свойства полных расширений моделей. Это особый вид элементарных расширений, тесно связанный с предельными уль траетепе-нями. [46]
Если F - глобальное поле, v - его точка, продолженная на F. Тогда существует естественное вложение 0: WFv - t - Wp, согласованное с вложениями iv: GFj - - Gf и Егх - СЕ для всех E / F, [ Е: / г ] оо. [47]
Универсальным каскадным соединением является сплетение моделей, определяемое через универсальный объект в категории К. Из определений следует, что каждому морфизму категории К отвечает гомоморфизм соответствующих каскадных соединений - гомоморфизм, меняющий только символы отношений. В этом смысле каждое каскадное соединение моделей допускает естественное вложение в сплетение этих же моделей. [48]
На основании развитой им алгебраической техники так называемых алгебраических комплексов Пуанкаре А. С. Мищенко показал ( [47]), что теория перестроек гладких многообразий по существу зависит не столько от гладкости многообразия, сколько от гомотопической структуры пространства. Он доказал, что препятствие к перестройке нормального отображения до гомотопической эквивалентности гладких многообразий обобщаются до категории геометрических комплексов Пуанкаре. Таким образом А. С. Мищенко были найдены формулы для описания препятствия к перестройке в виде некоторого характеристического числа со значением в когомологиях многообразия с универсальной локальной системой коэффициентов, порожденной естественным вложением фундаментальной группы в ее групповое кольцо. Однако полученные формулы были еще далеки от эффективности, поскольку кольцо коэффициентов могло быть выражено лишь в терминах эрмитовой - теории. [49]