Сфера - единичный радиус
Cтраница 2
Мы можем, очевидно, вписать в сферу единичного радиуса куб таким образом, чтобы радиусы, идущие в центры грани октаэдра, имели своими концами вершины куба. Отсюда непосредственно следует, что группа вращения для куба будет той же самой, что и для октаэдра. Положим, что мы иначе выбрали положение октаэдра, а именно, что новое положение октаэдра получается из первоначального при помощи вращения, осуществляемого некоторой матрицей U. Если V есть некоторое вращение, при котором прежний октаэдр переходил сам в себя, то, очевидно, UVU - l будет давать такое вращение, при котором новый октаэдр будет переходить в себя, и наоборот. Иначе говоря, получается подобная группа. Вообще, если совокупность некоторых матриц Vk образует группу, то совокупность подобных матриц UVkU - - при любой фиксированной матрице U также образует группу. Это нетрудно непосредственно доказать из определения группы, что мы и предлагаем проделать читателю. Вторая группа называется обычно подобной первой. [16]
Если теперь эту систему инвертировать по отношению к сфере единичного радиуса с центром в О, то четыре сферы A, B C D инвертируются в сферы, а остальные десять сфер перейдут в плоскости. Первые четыре точки пересечения А, В, С1, D переходят в центры сфер, а остальные соответствуют остальным описанным выше одиннадцати точкам. Эти пятнадцать точек образуют изображение точки О в системе четырех сфер. [17]
 |
Пример преобразования инверсии на плоскости для случая прямых и окружностей, проходящих через начало координат. [18] |
В пространстве Еъ особую роль играет единичная сфера ( сфера единичного радиуса с центром в начале координат), так как точки этой сферы остаются неподвижными при инверсии. На рис. 6.11 показан пример преобразования инверсии на плоскости. На этом рисунке прямая /, ( / 1, 2, 3) и окружность С - при инверсии преобразуются друг в друга. [19]
Точки Л, J5, С лежат на поверхности сферы единичного радиуса с центром в точке О. Углы БОС, СОА и ЛОВ обозначены соответственно а, р, у. [20]
Точки А, В, С лежат на поверхности сферы единичного радиуса с центром в О. [21]
При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой. [22]
Последнее уравнение показывает, что характеристической поверхностью единичного тензора является сфера единичного радиуса. [23]
При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой. [24]
Это положение иллюстрируется на рис. 328, на котором показана сфера единичного радиуса с центром в точке Р; телесный угол измеряется на поверхности этой сферы. Если точка Р описывает некоторую замкнутую кривую, которая один раз охватывает вихревое кольцо, то телесный угол при этом увеличивается или уменьшается на 4л в соответствии с выбранным направлением отсчета. Следовательно, потенциал р является многозначной функцией. Это согласуется с тем обстоятельством, что наличие вихревого кольца делает пространство двусвязным. [25]
При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса двигается по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой. [26]
При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой. [27]
Из доказанного нами предложения непосредственно следует, что коэффициенты сжатий, преобразующих сферу единичного радиуса в заданный эллипсоид, однозначно определены. [28]
Рассмотрим совокупность всех спинорных полей одного и того же веса 5 на сфере единичного радиуса. При вращениях вокруг начала координат эти поля преобразуются друг через друга в соответствии с формулой ( 59 1), по некоторому бесконечномерному представлению. [29]
Таким образом, X, как раз соответствуют экстремальным значениям квадратичной формы на сфере единичного радиуса. Эти же числа, как было показано выше, возникают на диагонали матрицы А при операции приведения квадратичной формы р к сумме квадратов или дагонализа-ции матрицы А. Поэтому задачи поиска экстремальных значений квадратичной формы на сфере единичного радиуса и приведения квадратичной формы к сумме квадратов являются в сущности тождественными. [30]
Страницы: 1 2 3 4